La giunzione pn polarizzata

Fuori dall’equilibrio

Nell’articolo precedente la giunzione era lasciata a sé stessa. Ora le si applica una tensione $V$ tra la zona $p$ e la zona $n$, positiva quando il potenziale della zona $p$ è più alto: è la polarizzazione diretta; con $V < 0$ la polarizzazione è inversa. Passa corrente, e la giunzione non è più all’equilibrio. Servono due strumenti nuovi: un modo di descrivere le densità dei portatori quando la legge di azione di massa non vale più, e un bilancio che tenga conto dei portatori che nascono e che scompaiono.

Moltiplicando, $np = n_i^2\,e^{(E_{Fn} - E_{Fp})/kT}$: la distanza tra i due quasi-livelli misura quanto il prodotto $np$ si allontana dal valore di equilibrio. All’equilibrio coincidono con il livello di Fermi. Se i portatori in più, o in meno, sono pochi rispetto ai maggioritari, la situazione si chiama di bassa iniezione, e il quasi-livello dei maggioritari resta praticamente dov’era; quello dei minoritari, invece, può spostarsi di molto.

Il bilancio dei portatori si scrive per un volumetto di cristallo.

Generazione e ricombinazione

All’equilibrio $G = R$ in ogni punto. Nel silicio un elettrone di conduzione ricade raramente in una lacuna in un solo salto: il fondo della banda di conduzione e la cima di quella di valenza corrispondono a quantità di moto diverse, e il salto dovrebbe cederne una parte. La ricombinazione passa quasi sempre per un gradino intermedio, uno stato nel gap creato da un difetto del cristallo o da un’impurezza, che cattura prima un portatore e poi l’altro. La teoria di questo processo è di William Shockley e William Read e, indipendentemente, di Robert Hall, tutti nel 1952. Per centri con il livello al centro del gap e la stessa efficacia per elettroni e lacune dà

$$R - G = \frac{np - n_i^2}{\tau\,(n + p + 2n_i)} ,$$

dove $\tau$ è il tempo di vita dei portatori. La dimostrazione richiede di contare le catture e le emissioni dei centri, e qui non si riporta. Il segno di $R - G$ è quello di $np - n_i^2$: dove i portatori sono più che all’equilibrio prevale la ricombinazione, dove sono meno prevale la generazione. Il tempo di vita dipende dai difetti e varia moltissimo: pochi nanosecondi vicino alle superfici, dove i difetti sono tanti, circa un microsecondo nel silicio di buona qualità dei dispositivi, millisecondi nei cristalli purissimi usati come rivelatori di radiazione.

La ricombinazione è dettata dai minoritari in eccesso: un centro che ha catturato una lacuna trova subito un elettrone, perché ce ne sono moltissimi. Se in un silicio di tipo $n$ illuminato uniformemente si spegne la luce, non ci sono correnti né variazioni lungo $x$, l’equazione di continuità si riduce a $dp'/dt = -p'/\tau$, e l’eccesso di lacune scompare come $p'(0)\,e^{-t/\tau}$.

La legge della giunzione

Una tensione applicata ai contatti si distribuisce lungo il dispositivo. I contatti ohmici non oppongono resistenza, e le zone neutre, piene di portatori, conducono bene: quasi tutta la tensione cade sulla zona svuotata, povera di portatori. La barriera tra le due zone neutre passa da $\Phi_{bi}$ a $\Phi_{bi} - V$: si abbassa in diretta, si alza in inversa.

L’ipotesi sulle correnti è largamente verificata. Con $N_D = 10^{16}\ \text{cm}^{-3}$ e una zona svuotata di qualche decimo di micrometro, il solo termine di diffusione vale circa $qD_nN_D/x_d \approx 10^{3}$ A/cm², e la corrente di un diodo in funzione è di solito mille volte più piccola: deriva e diffusione restano in equilibrio quasi perfetto, e la tensione applicata sposta solo di poco quell’equilibrio. Ai bordi della zona svuotata $np = n_i^2\,e^{V/V_T}$: i quasi-livelli di Fermi sono separati di $qV$.

In diretta i minoritari ai bordi aumentano di un fattore $e^{V/V_T}$, in inversa diminuiscono fino quasi a zero. Resta da vedere quanta corrente ne viene.

I minoritari nelle zone neutre

I minoritari in più al bordo della zona svuotata non restano lì. Nella zona neutra $n$ il campo è debole e le lacune in eccesso si muovono per diffusione verso il contatto, dove per le proprietà del contatto ohmico la loro densità torna quella di equilibrio. Lungo la strada una parte si ricombina. Con $u = x - x_n$ la distanza dal bordo e $W$ la lunghezza della zona neutra, nello stato stazionario, senza campo, la corrente di lacune è $J_p = -qD_p\,dp'/du$, e l’equazione di continuità diventa

$$D_p\,\frac{d^2p'}{du^2} = \frac{p'}{\tau_p} .$$

La lunghezza di diffusione $L_p$ è la distanza tipica che una lacuna percorre prima di ricombinarsi: con $D_p = 11\ \text{cm}^2/\text{s}$ e $\tau_p = 1$ μs vale $33$ μm. I due casi estremi hanno un nome. Se la zona neutra è molto più corta di $L_p$, la base corta, quasi nessuna lacuna si ricombina: $\tanh(W/L_p) \approx W/L_p$, il profilo è una retta e $J_p = qD_p\,p'(0)/W$. Se è molto più lunga, la base lunga, le lacune si ricombinano tutte prima del contatto: $\tanh \approx 1$, il profilo è l’esponenziale $p'(0)\,e^{-u/L_p}$ e $J_p = qD_p\,p'(0)/L_p$.

Nella base corta la corrente è costante lungo la zona neutra, e si può chiedere quanto tempo impiega una lacuna ad attraversarla.

La base è corta, e la ricombinazione trascurabile, quando $t_{tr} \ll \tau$, cioè quando $W^2 \ll 2D\tau = 2L^2$: le due condizioni dicono la stessa cosa. Con la base lunga lo stesso conto dà $Q = qA\,p'(0)\,L_p$ e $Q/I = L_p^2/D_p = \tau_p$: la carica immagazzinata è la corrente per il tempo di vita. Per spegnere un diodo in conduzione bisogna togliere questa carica, e per questo un diodo non si interdice istantaneamente.

L’equazione del diodo

Nella zona $p$ la corrente di elettroni decresce allontanandosi dalla giunzione, come quella di lacune nella zona $n$. La corrente totale, però, è la stessa in ogni sezione: dove i minoritari si ricombinano, i maggioritari arrivati dal contatto ne prendono il posto, e forniscono sia i portatori da iniettare sia quelli che servono alla ricombinazione.

È la formula che William Shockley ricavò nel 1949. In diretta, appena $V$ supera qualche $V_T$, la corrente cresce come $e^{V/V_T}$: di un fattore dieci ogni $V_T\ln10 = 59{,}5$ mV. In inversa tende a $-J_s$, piccolissima e indipendente dalla tensione. $J_s$ è proporzionale a $n_i^2$, e quindi cresce moltissimo con la temperatura; ed è dominata dalla zona meno drogata, perché i minoritari iniettati nella zona più drogata sono pochi. In una giunzione $p^+n$ la corrente è fatta quasi tutta di lacune iniettate nella zona $n$.

La bassa iniezione vale finché i minoritari al bordo restano molti meno dei maggioritari, $p_{n0}\,e^{V/V_T} \ll N_D$, cioè $V \ll 2V_T\ln(N_D/n_i)$: con $N_D = 10^{16}\ \text{cm}^{-3}$ il limite è $0{,}71$ V. Oltre, la corrente cresce meno in fretta, e anche la resistenza delle zone neutre e dei contatti comincia a farsi sentire.

La ricombinazione nella zona svuotata

L’equazione del diodo trascura la ricombinazione nella zona svuotata. In diretta, però, lì $np = n_i^2\,e^{V/V_T}$, più che all’equilibrio, e qualche coppia si ricombina. Con il prodotto $np$ fissato, il denominatore della formula di Shockley, Read e Hall è minimo quando $n = p = n_i\,e^{V/2V_T}$, e la ricombinazione vale al massimo

$$R - G = \frac{n_i^2\,(e^{V/V_T} - 1)}{\tau\,(2n_i\,e^{V/2V_T} + 2n_i)} \approx \frac{n_i}{2\tau}\,e^{V/2V_T} .$$

Ogni coppia ricombinata richiede una carica elementare dal circuito esterno, e su tutta la zona svuotata la corrente è al più $J_{ric} \approx (qn_ix_d/2\tau)\,e^{V/2V_T}$. Cresce con metà della pendenza della corrente di diffusione, ma parte da un valore molto più alto, perché è proporzionale a $n_i$ e non a $n_i^2$. Nel silicio domina alle tensioni basse, fino a qualche decimo di volt, e sopra diventa trascurabile. Per questo la corrente di un diodo reale si scrive spesso $I_s\,e^{V/\eta V_T}$ con un fattore di idealità $\eta$ tra $1$ e $2$.

La polarizzazione inversa

Con $V < 0$ di qualche $V_T$ le densità dei minoritari ai bordi della zona svuotata sono quasi nulle, e le zone neutre forniscono per diffusione la corrente $-J_s$. Nella zona svuotata, dove ora $np \ll n_i^2$ e anche $n, p \ll n_i$, la formula di Shockley, Read e Hall dà una generazione netta $G - R \approx n_i^2/(2n_i\tau) = n_i/2\tau$, e le coppie generate sono separate dal campo. La corrente di generazione è

$$J_{gen} \approx -\frac{qn_i\,x_d}{2\tau} ,$$

e cresce con la tensione inversa come $x_d$, cioè come $\sqrt{\Phi_{bi} - V}$. Anche qui $n_i$ contro $n_i^2$: nel silicio a temperatura ambiente la corrente inversa è quasi tutta di generazione.

La capacità di giunzione

La larghezza della zona svuotata dipende dalla tensione. I conti dell’articolo precedente valgono con la barriera $\Phi_{bi} - V$ al posto di $\Phi_{bi}$: la zona svuotata si restringe in diretta e si allarga in inversa. Se la tensione cambia, la carica fissa scoperta nella zona svuotata cambia con lei, e la giunzione si comporta come un condensatore.

È la capacità di un condensatore piano con le armature distanti $x_d$: le armature sono i bordi delle zone neutre, dove arriva e da dove se ne va la carica. Diminuisce con la tensione inversa, e i diodi varicap sfruttano proprio questo per accordare i circuiti oscillanti con una tensione. In una giunzione asimmetrica $1/C_j^2 = 2(\Phi_{bi} - V)/(q\varepsilon_{Si}A^2N)$ è una retta in funzione di $V$, e dalla sua pendenza si misura il drogaggio della zona meno drogata. In diretta la capacità di giunzione c’è ancora, ma la carica dei minoritari immagazzinati, $\tau I$, cambia con la tensione molto di più.

La rottura

Il campo massimo nella zona svuotata cresce con la tensione inversa. Nell’articolo precedente si è visto che $|\mathcal E_{max}| = 2\Phi_{bi}/x_d$; con la barriera $\Phi_{bi} - V$ e la larghezza della proposizione precedente diventa

$$|\mathcal E_{max}| = \sqrt{\frac{2qN\,(\Phi_{bi} - V)}{\varepsilon_{Si}}} .$$

Quando il campo arriva a qualche centinaio di kilovolt al centimetro, un elettrone accelerato tra un urto e l’altro può acquistare più dell’energia del gap e, urtando, rompere un legame: nasce una coppia, e i due nuovi portatori, accelerati a loro volta, ne creano altre. È la moltiplicazione a valanga, e la corrente inversa, da minuscola, cresce di colpo.

Il campo critico del silicio è circa $4\times10^{5}$ V/cm per drogaggi attorno a $10^{16}\ \text{cm}^{-3}$ e cresce lentamente con il drogaggio. La tensione di rottura dipende soprattutto dalla zona meno drogata, attraverso $N$: per avere diodi che reggono tensioni alte si fa quella zona poco drogata e lunga. Con drogaggi molto alti su tutti e due i lati, invece, la zona svuotata è così sottile che gli elettroni possono passarla per effetto tunnel, dalla banda di valenza della zona $p$ alla banda di conduzione della zona $n$, già con pochi volt: è la rottura Zener, che prevale sotto i $5$ V circa. La rottura non è distruttiva se la corrente è limitata dal circuito; i diodi Zener, fatti per lavorare lì, sono l’argomento del prossimo articolo.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un diodo $p^+n$ ha $N_A = 10^{18}$ e $N_D = 10^{16}\ \text{cm}^{-3}$, sezione $1\ \text{mm}^2$, zone neutre lunghe molto più delle lunghezze di diffusione, e tempi di vita dei minoritari di $1$ μs. Le mobilità dei minoritari sono $\mu_p = 425\ \text{cm}^2/(\text{V·s})$ nella zona $n$ e $\mu_n = 277\ \text{cm}^2/(\text{V·s})$ nella zona $p$. Calcola la corrente di saturazione e la corrente a $0{,}6$ e a $0{,}7$ V.

I coefficienti di diffusione sono $D_p = 0{,}02585\cdot425 = 11{,}0\ \text{cm}^2/\text{s}$ e $D_n = 7{,}16\ \text{cm}^2/\text{s}$, le lunghezze di diffusione $L_p = \sqrt{11{,}0\cdot10^{-6}}\ \text{cm} = 33$ μm e $L_n = 27$ μm. I due termini di $J_s$ valgono

$$\frac{qn_i^2D_p}{N_DL_p} = \frac{1{,}602\times10^{-19}\cdot10^{20}\cdot11{,}0}{10^{16}\cdot3{,}31\times10^{-3}} = 5{,}3\times10^{-12}\ \text{A/cm}^2$$

e $qn_i^2D_n/(N_AL_n) = 4{,}3\times10^{-14}$ A/cm², centoventi volte meno. Con $A = 10^{-2}\ \text{cm}^2$, $I_s = 5{,}35\times10^{-14}$ A. A $0{,}6$ V, $I = I_s\,e^{0{,}6/0{,}02585} = 0{,}64$ mA; a $0{,}7$ V, $31$ mA.

Commento: $I_s$ è una frazione di miliardesimo di milliampere, eppure a $0{,}6$ V il diodo conduce quasi un milliampere, e cento millivolt dopo cinquanta volte tanto. Per questo in un circuito si dice che un diodo al silicio in conduzione ha circa $0{,}6$-$0{,}7$ V ai capi, quasi qualunque sia la corrente. A $0{,}7$ V le lacune al bordo sono $5{,}7\times10^{15}\ \text{cm}^{-3}$, più della metà di $N_D$: la bassa iniezione è al limite, e la corrente vera è un po’ più bassa.

Esercizio 2. Nel diodo dell’esercizio 1 la zona $p$ fosse lunga solo $5$ μm, con $N_A = 10^{17}\ \text{cm}^{-3}$ e $D_n = 18{,}6\ \text{cm}^2/\text{s}$. Quanto vale il tempo di transito degli elettroni? La base è corta?

$t_{tr} = W^2/2D_n = (5\times10^{-4}\ \text{cm})^2/(2\cdot18{,}6\ \text{cm}^2/\text{s}) = 6{,}7\times10^{-9}$ s, contro un tempo di vita di $10^{-6}$ s.

Commento: gli elettroni attraversano la zona in meno di sette nanosecondi, e solo uno su centocinquanta si ricombina per strada. La base è corta, e nel termine degli elettroni di $J_s$ al posto di $L_n$ va $W_p$.

Esercizio 3. Confronta, per il diodo dell’esercizio 1 polarizzato con $-5$ V, la corrente inversa di diffusione e quella di generazione.

La tensione di built-in è $0{,}02585\cdot\ln(10^{34}/10^{20}) = 0{,}833$ V, e la zona svuotata, quasi tutta nella zona $n$, è larga $x_d = \sqrt{2\cdot1{,}04\times10^{-12}\cdot5{,}83/(1{,}602\times10^{-19}\cdot10^{16})} = 8{,}7\times10^{-5}$ cm. La corrente di generazione è

$$|J_{gen}| = \frac{qn_ix_d}{2\tau} = \frac{1{,}602\times10^{-19}\cdot10^{10}\cdot8{,}7\times10^{-5}}{2\times10^{-6}}\ \text{A/cm}^2 ,$$

cioè $7{,}0\times10^{-8}$ A/cm², $0{,}7$ nA su un millimetro quadrato, contro $J_s = 5{,}35\times10^{-12}$ A/cm².

Commento: la generazione vince di tredicimila volte. L’equazione del diodo descrive bene la diretta, ma nel silicio la corrente inversa misurata è quasi tutta di generazione, e cresce un poco con la tensione. Nel germanio, con $n_i$ più di duemila volte più grande, le due correnti si avvicinano, perché il rapporto tra loro è proporzionale a $1/n_i$.

Esercizio 4. Calcola la capacità di giunzione del diodo dell’esercizio 1 con $0$ e con $-5$ V.

A $0$ V, $x_d = \sqrt{2\cdot1{,}04\times10^{-12}\cdot0{,}833/(1{,}602\times10^{-19}\cdot10^{16})} = 3{,}3\times10^{-5}$ cm e $C_j = 1{,}04\times10^{-12}\cdot10^{-2}/3{,}3\times10^{-5} = 315$ pF. A $-5$ V, con $x_d = 8{,}7\times10^{-5}$ cm, $C_j = 119$ pF.

Commento: cinque volt di tensione inversa dividono la capacità per quasi tre. In un diodo varicap il profilo di drogaggio si sceglie in modo da rendere la dipendenza dalla tensione ancora più marcata.

Esercizio 5. Stima la tensione di rottura a valanga del diodo dell’esercizio 1, con un campo critico di $4\times10^{5}$ V/cm.

Con $1/N = 10^{-18} + 10^{-16}$, $N = 9{,}9\times10^{15}\ \text{cm}^{-3}$ e

$$V_{BR} = \frac{1{,}04\times10^{-12}\cdot(4\times10^{5})^2}{2\cdot1{,}602\times10^{-19}\cdot9{,}9\times10^{15}}\ \text{V} - 0{,}83\ \text{V} ,$$

cioè $52{,}5 - 0{,}8 \approx 52$ V.

Commento: la zona svuotata a quella tensione è larga $x_d = 2(\Phi_{bi} + V_{BR})/\mathcal E_c = 2{,}6$ μm, e la zona $n$ neutra deve essere più lunga, altrimenti la zona svuotata arriva al contatto prima della valanga. Per un diodo da $500$ V servirebbe un drogaggio circa dieci volte più basso e una zona $n$ di decine di micrometri.