Gli spazi curvi e la curvatura gaussiana

La geometria vista da dentro

Si immagini una formica che cammina su una superficie e non ha idea di cosa ci sia fuori. Ha un metro, o semplicemente conta i passi, e con quello costruisce la sua geometria: chiama retta la linea più breve tra due punti, misura gli angoli tra le rette, disegna figure. Se la superficie è un piano, la formica ritrova Euclide. Per un punto fuori da una retta passa una sola parallela. Percorrendo quattro tratti uguali e svoltando ogni volta ad angolo retto torna al punto di partenza, dopo aver disegnato un quadrato. Il rapporto tra una circonferenza e il suo raggio è sempre $2\pi$, vale il teorema di Pitagora e gli angoli interni di un triangolo sommano a $\pi$.

Su una sfera nessuna di queste regole resta vera. La domanda di questo articolo è come la formica possa accorgersene senza uscire dalla superficie, e come si misuri quanto la superficie è curva. È la stessa domanda che la relatività generale pone per lo spaziotempo, dove nessuno può uscire a guardare.

Superfici che si srotolano

Un foglio di carta arrotolato a cilindro o a cono sembra curvo, ma per la formica non cambia niente: le distanze tra i punti del foglio restano quelle, le linee più brevi restano le stesse, e così gli angoli. Si può sempre srotolare il foglio e ritrovare sul piano quello che ci si era disegnato. Con gli strumenti dell’articolo sulle coordinate lo si dimostra.

Per una superficie descritta da due coordinate, con la posizione $\mathbf r(x^1, x^2)$ nello spazio, la proposizione sulla metrica in coordinate curvilinee vale con la stessa dimostrazione: tra punti vicini della superficie $ds^2 = g_{ik}\,dx^i\,dx^k$, con $g_{ik} = \mathbf e_i\cdot\mathbf e_k$ ed $\mathbf e_i = \partial\mathbf r/\partial x^i$. Al primo ordine la distanza misurata sulla superficie coincide con quella in linea d’aria.

Le coordinate coprono il cilindro e il cono tagliati lungo una generatrice, come il foglio prima di essere chiuso; il vertice del cono va escluso. Una sfera invece non si copre con un foglio senza stropicciarlo o strapparlo. È il problema della cartografia: tutte le proiezioni, da quella di Mercatore a quella di Peters, deformano qualcosa. Su una carta che copre una regione piccola basta la scala, per esempio 1:100 000, cioè un centimetro sulla carta per un chilometro sul terreno. Su un planisfero una scala unica non esiste, e ogni zona della carta ne ha una sua.

Per trasformare un piano in una sfera bisogna deformarlo. Si pensi a una scatola chiusa da una membrana elastica piana, come un tamburo, e si pompi aria dentro: la membrana si gonfia e prende una forma quasi sferica. Un triangolo disegnato sulla membrana piatta, a membrana gonfia, ha lati più lunghi e angoli la cui somma supera $\pi$. La membrana ha subito quello che al foglio arrotolato non succede: le distanze tra i suoi punti sono cambiate.

Euclide e le geometrie non euclidee

Per più di due millenni la geometria è stata quella di Euclide, costruita su cinque postulati. Il quinto, nella forma equivalente oggi più usata, dice che per un punto fuori da una retta passa una sola retta parallela a quella data. (Non va confuso con «due rette parallele non si incontrano mai», che è la definizione di parallele.) Il quinto postulato è meno evidente degli altri, e per secoli si cercò di dedurlo dai primi quattro. Nel primo Ottocento Gauss, senza pubblicare nulla, Nikolaj Lobačevskij nel 1829 e János Bolyai nel 1832 costruirono una geometria in cui per un punto passano infinite parallele. Nel 1868 Eugenio Beltrami ne diede un modello dentro la geometria euclidea: se la geometria di Euclide non contiene contraddizioni, non ne contiene nemmeno quella di Lobačevskij, e il quinto postulato non si può dedurre dagli altri.

Queste geometrie non nascevano da un fatto sperimentale. Gauss diresse la triangolazione del Regno di Hannover e misurò con cura il triangolo che ha per vertici tre cime, il Brocken, l’Hoher Hagen e l’Inselsberg, con lati fino a circa cento chilometri; se tra gli scopi ci fosse anche verificare la geometria euclidea è discusso dagli storici. In ogni caso non trovò deviazioni. Fu la relatività generale a mettere in discussione, con previsioni poi confermate, la geometria dello spazio in cui viviamo.

Il teorema di Girard

Sulla sfera le linee più brevi sono archi di cerchio massimo, le circonferenze che hanno lo stesso centro della sfera: meridiani ed equatore lo sono, gli altri paralleli no. Due cerchi massimi si incontrano sempre, in due punti opposti, quindi sulla sfera non ci sono parallele. Un triangolo sferico ha per lati tre archi di cerchio massimo, e il suo angolo in un vertice è l’angolo tra le tangenti ai due lati, uguale all’angolo tra i piani dei due cerchi massimi. Un fuso di angolo $\alpha$ è la regione compresa tra due semicirconferenze massime che uniscono due punti opposti e formano l’angolo $\alpha$.

Con $\alpha = 2\pi$ si ritrova l’area della sfera, $4\pi R^2$.

La somma degli angoli di un triangolo sferico supera sempre $\pi$, e l’eccesso è proporzionale all’area. Un triangolo piccolo ha un eccesso piccolo e sembra piano: è la ragione per cui la geometria euclidea funziona benissimo su un campo da calcio.

La curvatura gaussiana

Per chi guarda la sfera da fuori, la sua curvatura è $K = 1/R^2$: grande per una sfera piccola, nulla nel limite di raggio infinito, in cui la sfera diventa un piano. La formica non conosce $R$, ma il teorema di Girard le dà un modo di misurarla: basta tracciare un triangolo, misurarne gli angoli e l’area,

$$K = \frac1{R^2} = \frac{\alpha + \beta + \gamma - \pi}{A} .$$

Su una superficie qualsiasi il rapporto può cambiare da un punto all’altro, e si prende il limite per triangoli sempre più piccoli.

Che il limite esista e non dipenda da come il triangolo si restringe, per una superficie liscia, è una conseguenza del teorema di Gauss-Bonnet, che va oltre l’articolo. Nel piano la curvatura è nulla, sulla sfera vale $1/R^2$ ovunque. Può anche essere negativa: su una sella gli angoli di un triangolo sommano a meno di $\pi$. Una grandezza definita così si dice intrinseca, perché si misura restando sulla superficie. Un secondo modo di misurarla dall’interno usa le circonferenze.

Invertendo lo sviluppo, $K = 3(2\pi\rho - C)/(\pi\rho^3)$ nel limite $\rho \to 0$. La formula vale su ogni superficie liscia e porta il nome di Bertrand, Diguet e Puiseux, che la pubblicarono nel 1848; qui è dimostrata solo per la sfera.

Il theorema egregium

Gauss definì la curvatura di una superficie guardandola dallo spazio in cui è immersa, con le curvature delle sezioni normali, e nel 1827, nelle Disquisitiones generales circa superficies curvas, dimostrò che dipende soltanto dal tensore metrico e dalle sue derivate. Lo chiamò theorema egregium, teorema notevole: la curvatura si calcola dalle misure di distanza fatte sulla superficie, e un foglio si può avvolgere su un cilindro ma non su una sfera perché la curvatura della sfera è diversa da zero e quella del foglio no. Qui lo si enuncia per le coordinate ortogonali, in cui $g_{12} = 0$, che sono le sole usate nel seguito.

La dimostrazione richiede la geometria differenziale delle superfici, con la seconda forma fondamentale e le equazioni di Gauss, e va oltre questo articolo; si trova per esempio nel capitolo 4 di M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces. Negli articoli sulla derivata covariante e sul tensore di Riemann la curvatura si ricaverà dal tensore metrico per altra via, in un numero qualsiasi di dimensioni. Qui la formula si mette alla prova.

Nel piano in coordinate cartesiane i coefficienti sono costanti, tutte le derivate si annullano e $K = 0$. In coordinate polari, $x^1 = R$ e $x^2 = \theta$, si ha $g_{11} = 1$ e $g_{22} = R^2$; le sole derivate non nulle sono $\partial g_{22}/\partial R = 2R$ e $\partial^2 g_{22}/\partial R^2 = 2$, e

$$K = \frac{1}{2R^2}\left[-2 + \frac{1}{2R^2}\,(2R)^2\right] = 0 ,$$

come deve essere: il piano è lo stesso, cambiano solo le coordinate. Il cilindro e il cono, per la proposizione iniziale, hanno la metrica del piano, e anche la loro curvatura è nulla.

La superficie sferica

Sulla sfera le coordinate cartesiane valgono solo in modo approssimato, in regioni piccole dove la superficie si confonde con il piano tangente. Per coprirla tutta si usano gli angoli delle coordinate sferiche.

Con $\sin^2\Phi$ nella metrica $\Phi$ è l’angolo misurato dal polo, la colatitudine; con la latitudine $\lambda = \pi/2 - \Phi$ il fattore diventa $\cos^2\lambda$. Nei poli $g_{\theta\theta}$ si annulla, e lì la longitudine non è definita: nessun sistema di coordinate copre tutta la sfera senza punti di questo tipo.

Con $x^1 = \Phi$ e $x^2 = \theta$, $g_{11} = R^2$ è costante e $g_{22}$ dipende solo da $\Phi$, con

$$\frac{\partial g_{22}}{\partial\Phi} = 2R^2\sin\Phi\cos\Phi, \qquad \frac{\partial^2 g_{22}}{\partial\Phi^2} = 2R^2\cos 2\Phi .$$

Nel theorema egregium restano due termini:

$$K = \frac{1}{2R^4\sin^2\Phi}\left[-2R^2\cos 2\Phi + \frac{4R^4\sin^2\Phi\cos^2\Phi}{2R^2\sin^2\Phi}\right] = \frac{-2R^2(\cos^2\Phi - \sin^2\Phi) + 2R^2\cos^2\Phi}{2R^4\sin^2\Phi} = \frac1{R^2} .$$

È il valore trovato con il teorema di Girard, e lo stesso in tutti i punti: la sfera ha curvatura costante.

Da Gauss a Riemann

Nel 1854 Bernhard Riemann, allievo di Gauss, estese queste idee a spazi con un numero qualsiasi di dimensioni, nella lezione Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria. In più di due dimensioni la curvatura non è più un numero per ogni punto: in ogni punto ci sono tante direzioni di superficie diverse, ciascuna con la sua curvatura, e tutte insieme formano un tensore, il tensore di Riemann. Alla fine dell’Ottocento Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita costruirono il calcolo differenziale assoluto, cioè il calcolo tensoriale in coordinate qualsiasi, pubblicato in forma completa nel 1900. Einstein lo imparò tra il 1912 e il 1913 con l’aiuto del matematico Marcel Grossmann, e ne fece il linguaggio della relatività generale. Il prossimo articolo comincia da lì: vettori e tensori in coordinate arbitrarie.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Sulla Terra, supposta sferica con $R = 6371$ km, si traccia il triangolo con un vertice al polo nord e due sull’equatore, a 0° e 90° di longitudine. Verifica con il teorema di Girard che la curvatura vale $1/R^2$. Poi calcola di quanto la somma degli angoli supera $\pi$ in un triangolo equilatero di lato $1$ km.

I lati sono due meridiani e un quarto di equatore, e i tre angoli sono retti: l’eccesso è $\pi/2$. Il triangolo copre un ottavo della sfera, $A = 4\pi R^2/8 = \pi R^2/2$, quindi $K = (\pi/2)/(\pi R^2/2) = 1/R^2$.

Per il triangolo piccolo l’area è praticamente quella piana, $A \approx (\sqrt3/4)\cdot(1\ \text{km})^2 \approx 0{,}433$ km², e

$$\alpha + \beta + \gamma - \pi = \frac{A}{R^2} \approx \frac{0{,}433}{6371^2} \approx 1{,}07 \times 10^{-8}\ \text{rad} \approx 0{,}0022'' .$$

Commento: su un chilometro la superficie terrestre è piatta per qualsiasi strumento da cantiere. È la situazione del principio di equivalenza: in una regione piccola la curvatura non si vede, ed emerge solo confrontando punti lontani. L’errore più comune è usare gli angoli in gradi nella formula di Girard, che vuole i radianti.

Esercizio 2. Sulla Terra, con $R = 6371$ km, quanto è lunga la circonferenza dei punti che distano $1000$ km dal polo nord, misurati lungo la superficie? Di quanto è più corta di $2\pi\rho$? Ricava $R$ dalla differenza.

$\rho/R = 1000/6371 \approx 0{,}156961$ e $\sin(\rho/R) \approx 0{,}156318$, quindi $C = 2\pi R\sin(\rho/R) \approx 2\pi \cdot 995{,}90$ km $\approx 6257{,}4$ km, contro $2\pi\rho \approx 6283{,}2$ km: la differenza è circa $25{,}8$ km. Dalla formula $K \approx 3(2\pi\rho - C)/(\pi\rho^3)$ si ha $K \approx 3\cdot 25{,}8/(\pi\cdot 10^9)$ km⁻² $\approx 2{,}46 \times 10^{-8}$ km⁻², cioè $R = 1/\sqrt K \approx 6370$ km. Il termine successivo dello sviluppo, trascurato, sposterebbe il risultato di pochi chilometri.

Commento: la formica non deve sapere niente dello spazio esterno, le bastano un raggio e una circonferenza misurati sul terreno. La differenza di $26$ km su $6283$ è di quattro parti su mille, ben misurabile; su un raggio di $10$ km diventerebbe $2{,}6 \times 10^{-5}$ km, cioè $2{,}6$ cm su $63$ km di circonferenza.

Esercizio 3. Un cono ha semiapertura $\alpha$ di 30°. Che figura si ottiene srotolandolo? Calcola la curvatura con il theorema egregium e la lunghezza della circonferenza dei punti a distanza $\rho$ dal vertice.

Per la proposizione sul cono il settore srotolato ha angolo $2\pi\sin\alpha = 2\pi\cdot\tfrac12 = \pi$: è un semicerchio. Con $g_{11} = 1$ e $g_{22} = \rho^2\sin^2\alpha$ si ha $\partial g_{22}/\partial\rho = 2\rho\sin^2\alpha$ e $\partial^2 g_{22}/\partial\rho^2 = 2\sin^2\alpha$, e

$$K = \frac{1}{2\rho^2\sin^2\alpha}\left[-2\sin^2\alpha + \frac{4\rho^2\sin^4\alpha}{2\rho^2\sin^2\alpha}\right] = 0 .$$

La circonferenza a distanza $\rho$ dal vertice ha raggio $\rho\sin\alpha$ e lunghezza $2\pi\rho\sin\alpha = \pi\rho$.

Commento: la curvatura è nulla ovunque, eppure attorno al vertice le circonferenze sono lunghe la metà di $2\pi\rho$, per qualsiasi $\rho$. Non c’è contraddizione con la formula di Bertrand, Diguet e Puiseux, che vale in un punto liscio: il vertice non lo è. Tutta la curvatura del cono è concentrata nel vertice, e un triangolo che lo contiene ha un eccesso angolare pari a $2\pi(1 - \sin\alpha)$ anche se ha lati rettilinei sul foglio srotolato.

Esercizio 4. Una superficie ha metrica $ds^2 = d\rho^2 + \sinh^2\rho\;d\theta^2$, con le lunghezze misurate in un’unità fissata. Calcola la curvatura e la lunghezza delle circonferenze $\rho$ costante.

Con $g_{11} = 1$ e $g_{22} = \sinh^2\rho$ si ha $\partial g_{22}/\partial\rho = 2\sinh\rho\cosh\rho$ e $\partial^2 g_{22}/\partial\rho^2 = 2\cosh 2\rho = 2(\cosh^2\rho + \sinh^2\rho)$. Allora

$$K = \frac{1}{2\sinh^2\rho}\left[-2(\cosh^2\rho + \sinh^2\rho) + \frac{4\sinh^2\rho\cosh^2\rho}{2\sinh^2\rho}\right] = \frac{-2\sinh^2\rho}{2\sinh^2\rho} = -1 .$$

La circonferenza $\rho$ costante è lunga $2\pi\sinh\rho = 2\pi\rho\,(1 + \rho^2/6 + \dots)$, più di $2\pi\rho$.

Commento: è il piano iperbolico, la geometria di Lobačevskij, con curvatura costante negativa. Con $K = -1$ la formula $C = 2\pi\rho(1 - K\rho^2/6)$ dà proprio $2\pi\rho(1 + \rho^2/6)$. I triangoli hanno angoli che sommano a meno di $\pi$, con un difetto uguale all’area, e per un punto fuori da una retta passano infinite parallele. La metrica è la stessa della sfera con $\sin$ al posto di $\sinh$: il cambio di segno della curvatura sta tutto lì.