Regime sinusoidale e fasori

Elettronica · Elettrotecnica Articolo 15 settembre 2026

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Indice

Perché le sinusoidi

La rete elettrica di casa è in corrente alternata sinusoidale, a $50$ Hz. Ci sono tre ragioni per dedicare al regime sinusoidale un metodo apposito: gli alternatori delle centrali producono tensioni sinusoidali, la trasmissione e la distribuzione dell’energia avvengono in alternata, e la sinusoide è il mattone con cui, attraverso Fourier, si analizzano segnali qualsiasi. C’è anche una ragione matematica: in una rete lineare le sinusoidi restano sinusoidi. Cambiano ampiezza e fase, ma non forma né frequenza, e questo permette di sostituire le equazioni differenziali con equazioni algebriche tra numeri complessi. L’articolo usa i numeri complessi.

Valore medio e valore efficace

Una grandezza $x(t)$ è periodica di periodo $T$ se $x(t + T) = x(t)$ per ogni $t$ ; la frequenza è $f = 1/T$ . Il valore medio è $\frac1T\int_0^T x\,dt$ , e una grandezza periodica con valore medio nullo si dice alternata. Il valore efficace è la radice della media del quadrato,

X = \sqrt{\frac1T\int_0^T x^2(t)\,dt} .

Proposizione (valore efficace di una sinusoide)

La sinusoide $x(t) = X_M\sin(\omega t + \varphi)$ , con $\omega = 2\pi f$ , ha valore efficace $X = X_M/\sqrt2$ . Una corrente sinusoidale di valore efficace $I$ dissipa in un resistore $R$ la potenza media $RI^2$ , la stessa di una corrente costante di intensità $I$ .

Dimostrazione.

Per la formula di duplicazione $\sin^2\alpha = \tfrac12(1 - \cos2\alpha)$ , e il coseno ha media nulla su un numero intero di periodi: la media di $X_M^2\sin^2(\omega t + \varphi)$ è $X_M^2/2$ . La potenza istantanea nel resistore è $Ri^2$ , e la sua media è $R$ per la media di $i^2$ , cioè $RI^2$ .

Fine della dimostrazione.

Una tensione sinusoidale di ampiezza $V_M$ e il suo quadrato, proporzionale alla potenza in un resistore. Il quadrato oscilla a frequenza doppia tra $0$ e $V_M^2$ , con media $V_M^2/2$ : la tensione costante che darebbe la stessa potenza media è $V = V_M/\sqrt2$ , le linee tratteggiate in alto.

Il valore efficace è il numero che si scrive sulle targhe e che misurano i multimetri in alternata. I $230$ V di rete sono efficaci: la tensione oscilla tra $+325$ e $-325$ V.

Le reti lineari in regime sinusoidale

Teorema (risposta a regime sinusoidale)

Una grandezza $x(t)$ di una rete lineare e tempo-invariante soddisfi un’equazione differenziale $\sum_{k=0}^n a_k\,x^{(k)} = E_M\sin(\omega t + \alpha)$ , con il polinomio caratteristico $P(s) = \sum_k a_ks^k$ privo di radici sull’asse immaginario. Allora l’equazione ha una e una sola soluzione sinusoidale di pulsazione $\omega$ ,

x(t) = \operatorname{Im}\!\left(\frac{E_M\,e^{j\alpha}}{P(j\omega)}\,e^{j\omega t}\right) .

Se la rete è stabile, cioè tutte le radici di $P$ hanno parte reale negativa, ogni soluzione tende a questa per $t \to \infty$ : è il regime sinusoidale permanente.

Dimostrazione.

Si prova $x(t) = \operatorname{Im}(Xe^{j\omega t})$ con $X$ complesso. Poiché i coefficienti sono reali, derivare sotto la parte immaginaria dà $x^{(k)}(t) = \operatorname{Im}\big((j\omega)^kXe^{j\omega t}\big)$ , e il primo membro diventa $\operatorname{Im}\big(P(j\omega)\,Xe^{j\omega t}\big)$ . Con $X = E_Me^{j\alpha}/P(j\omega)$ , possibile perché $P(j\omega) \ne 0$ , è $\operatorname{Im}(E_Me^{j\alpha}e^{j\omega t}) = E_M\sin(\omega t + \alpha)$ . Un’altra soluzione sinusoidale della stessa pulsazione differirebbe da questa per una sinusoide che risolve l’equazione omogenea, cioè una combinazione di $e^{\pm j\omega t}$ , possibile solo se $\pm j\omega$ fossero radici di $P$ . Infine la differenza tra una soluzione qualsiasi e quella sinusoidale risolve l’equazione omogenea, ed è una combinazione di termini $t^me^{st}$ con $s$ radici di $P$ : con le radici a parte reale negativa tende a zero.

Fine della dimostrazione.

Il transitorio dell’articolo precedente si spegne, e resta la sinusoide. La dimostrazione contiene già tutto il metodo: le derivate sono diventate moltiplicazioni per $j\omega$ , e l’equazione differenziale un’equazione algebrica complessa.

I fasori

Definizione (fasore)

Alla grandezza sinusoidale $f(t) = \sqrt2\,F\sin(\omega t + \varphi)$ , di valore efficace $F$ , si associa il numero complesso

\bar F = F\,e^{j\varphi} ,

il suo fasore, per cui $f(t) = \sqrt2\operatorname{Im}\big(\bar F\,e^{j\omega t}\big)$ .

Il fasore contiene l’ampiezza e la fase; la pulsazione, che è la stessa per tutte le grandezze della rete, resta sottintesa. Il sito usa il seno e il valore efficace; molti testi usano il coseno o l’ampiezza massima, e cambiano solo un fattore e un’origine delle fasi. Il fasore è la posizione all’istante zero di un vettore rotante $\bar F\,e^{j\omega t}$ , che gira nel piano complesso con velocità angolare $\omega$ e la cui proiezione sull’asse immaginario, moltiplicata per $\sqrt2$ , è la sinusoide.

Due vettori rotanti con la stessa pulsazione, una tensione e una corrente sfasate di $40°$ , e le loro proiezioni sull’asse immaginario. Nell’animazione i vettori girano insieme e le sinusoidi scorrono: l’angolo tra i vettori non cambia, e per descrivere le due grandezze basta la loro posizione in un istante, cioè i fasori.

Dal fasore alla sinusoide si torna con l’antitrasformata: $\bar F = x + jy$ corrisponde a $\sqrt2\,|\bar F|\sin(\omega t + \arg\bar F)$ . L’argomento va calcolato guardando i segni di $x$ e di $y$ , e non con $\arctan(y/x)$ , che confonde i quadranti opposti.

Proposizione (proprietà dei fasori)

Per grandezze sinusoidali della stessa pulsazione $\omega$ :

due grandezze sono uguali in ogni istante se e solo se hanno lo stesso fasore;
il fasore di una somma è la somma dei fasori, e quello di $k\,f(t)$ , con $k$ reale, è $k\bar F$ ;
il fasore della derivata è $j\omega\bar F$ , quello di una primitiva a media nulla $\bar F/(j\omega)$ .

Dimostrazione.

Se $\operatorname{Im}(\bar Ae^{j\omega t}) = \operatorname{Im}(\bar Be^{j\omega t})$ per ogni $t$ , in $t = 0$ si ha $\operatorname{Im}\bar A = \operatorname{Im}\bar B$ , e per $\omega t = \pi/2$ , dove $e^{j\omega t} = j$ , $\operatorname{Im}(j\bar A) = \operatorname{Re}\bar A = \operatorname{Re}\bar B$ .
La parte immaginaria è lineare rispetto a somme e a moltiplicazioni per numeri reali.
$\frac{d}{dt}\operatorname{Im}(\bar Fe^{j\omega t}) = \operatorname{Im}(j\omega\bar Fe^{j\omega t})$ , perché la derivata di una funzione complessa si fa sulle parti reale e immaginaria separatamente. La funzione $\operatorname{Im}\big((\bar F/j\omega)\,e^{j\omega t}\big)$ ha per derivata $\operatorname{Im}(\bar Fe^{j\omega t})$ e media nulla.

Fine della dimostrazione.

Il teorema dell’algebra dei fasori

Teorema (di Kennelly e Steinmetz)

In una rete lineare, tempo-invariante e stabile con generatori sinusoidali della stessa pulsazione $\omega$ , i fasori delle tensioni e delle correnti di regime soddisfano le leggi di Kirchhoff,

\sum_k \bar I_k = 0 \ \text{ai nodi}, \qquad \sum_k \bar V_k = 0 \ \text{alle maglie},

e le equazioni costitutive $\bar V = R\,\bar I$ per il resistore, $\bar V = j\omega L\,\bar I$ per l’induttore, $\bar V = \bar I/(j\omega C)$ per il condensatore. Il regime si calcola quindi con tutti i metodi del regime stazionario, con i fasori al posto delle grandezze costanti e i numeri complessi al posto delle resistenze.

Dimostrazione.

In regime tutte le grandezze sono sinusoidali di pulsazione $\omega$ , per il teorema sulla risposta a regime applicato a ciascuna. Una legge di Kirchhoff è una somma di sinusoidi nulla in ogni istante: per le proprietà 1 e 2 dei fasori equivale alla somma dei fasori nulla. Le equazioni costitutive $v = Ri$ , $v = L\,di/dt$ e $i = C\,dv/dt$ diventano, per le proprietà 2 e 3, $\bar V = R\bar I$ , $\bar V = j\omega L\bar I$ e $\bar I = j\omega C\bar V$ . Il sistema che si ottiene ha la stessa forma di quello di una rete di resistori, con coefficienti complessi. I metodi degli articoli precedenti, le equazioni ai nodi, la sovrapposizione, Thévenin, Norton, Millman, usano solo le leggi di Kirchhoff e l’algebra lineare, che valgono allo stesso modo con i numeri complessi; la stabilità garantisce che il sistema abbia soluzione unica.

Fine della dimostrazione.

Il metodo fu proposto indipendentemente nel 1893 da Arthur Kennelly e da Charles Proteus Steinmetz, che con un articolo presentato al congresso internazionale di elettricità di Chicago lo diffuse tra gli ingegneri. Il metodo funziona come una trasformata: un problema difficile nel dominio del tempo si porta nel dominio complesso, dove è facile, e la soluzione si riporta indietro con l’antitrasformata. Il teorema di Tellegen, invece, non si traduce parola per parola: la somma dei prodotti dei fasori non ha significato di potenza. La sua versione per i fasori usa i coniugati, e l’articolo sulle potenze in regime sinusoidale parte da lì.

Impedenza e ammettenza

Definizione (impedenza e ammettenza)

Per un bipolo lineare passivo in regime sinusoidale, con la convenzione degli utilizzatori, l’impedenza è il rapporto tra i fasori di tensione e corrente, e l’ammettenza il suo inverso:

\bar Z = \frac{\bar V}{\bar I} = R + jX, \qquad \bar Y = \frac1{\bar Z} = G + jB .

$R$ è la resistenza e $X$ la reattanza, in ohm; $G$ la conduttanza e $B$ la suscettanza, in siemens.

Per i tre bipoli fondamentali $\bar Z_R = R$ , $\bar Z_L = j\omega L$ e $\bar Z_C = 1/(j\omega C) = -j/(\omega C)$ . La reattanza induttiva $X_L = \omega L$ cresce con la frequenza, quella capacitiva $X_C = 1/(\omega C)$ diminuisce: a frequenza nulla, in continua, l’induttore è un cortocircuito e il condensatore un circuito aperto, come nei transitori a regime; a frequenza altissima il contrario. L’argomento dell’impedenza, $\varphi = \arg\bar Z$ , è lo sfasamento della tensione rispetto alla corrente, e per un bipolo passivo sta tra $-\pi/2$ e $\pi/2$ .

Fasori di tensione e corrente nei tre bipoli, con la corrente come riferimento. Nel resistore tensione e corrente sono in fase; nell’induttore la tensione è in anticipo di $90°$ , perché $j$ ruota di un angolo retto in senso antiorario; nel condensatore la tensione è in ritardo di $90°$ .

Le impedenze in serie si sommano e le ammettenze in parallelo si sommano, con le stesse dimostrazioni dei resistori. Per un resistore in serie a un induttore $\bar Z = R + j\omega L$ , con modulo $\sqrt{R^2 + \omega^2L^2}$ e argomento $\arctan(\omega L/R)$ ; per un resistore in parallelo a un condensatore $\bar Y = 1/R + j\omega C$ .

Diagrammi vettoriali

Le leggi di Kirchhoff in forma fasoriale sono somme di vettori nel piano complesso, e si possono disegnare. Nel diagramma vettoriale di un circuito RL serie si prende la corrente come riferimento: la tensione del resistore è in fase con la corrente, quella dell’induttore è ruotata di $90°$ in avanti, e la tensione totale è la loro somma, l’ipotenusa di un triangolo rettangolo.

Il diagramma vettoriale di un resistore da $30\ \Omega$ in serie a un induttore con $\omega L = 40\ \Omega$ . La tensione totale $\bar V$ è la somma di $\bar V_R$ , in fase con la corrente, e di $\bar V_L$ , in quadratura: $|\bar V| = 50\,I$ , e la tensione è in anticipo di $\varphi \approx 53°$ sulla corrente.

I moduli delle tensioni non si sommano: sul resistore e sull’induttore si possono misurare, con un voltmetro, tensioni la cui somma supera quella del generatore, e le leggi di Kirchhoff restano rispettate perché si sommano i vettori.

Il mutuo induttore in alternata

Le equazioni del mutuo induttore diventano, per la proprietà della derivata,

\bar V_1 = j\omega L_1\,\bar I_1 + j\omega M\,\bar I_2, \qquad \bar V_2 = j\omega M\,\bar I_1 + j\omega L_2\,\bar I_2 ,

con le correnti entranti dai morsetti contrassegnati. Quando i due avvolgimenti hanno un morsetto in comune, o si possono collegare senza cambiare nulla, si può sostituire il mutuo induttore con un doppio bipolo a T: tre reattanze, $j\omega(L_1 - M)$ e $j\omega(L_2 - M)$ sui due lati e $j\omega M$ nel ramo comune. La verifica è diretta: la tensione del primo lato è $j\omega(L_1 - M)\,\bar I_1 + j\omega M\,(\bar I_1 + \bar I_2)$ , che è l’equazione di $\bar V_1$ , e lo stesso per il secondo. L’accoppiamento magnetico diventa così un collegamento elettrico, che i metodi delle reti trattano senza regole speciali.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. La tensione di rete ha valore efficace $230$ V e frequenza $50$ Hz. Scrivi $v(t)$ con fase nulla. Che resistenza assorbe una potenza media di $1$ kW?

$V_M = 230\sqrt2 \approx 325$ V e $\omega = 2\pi\cdot50 \approx 314$ rad/s, quindi $v(t) \approx 325\sin(314\,t)$ V, con periodo $20$ ms. La potenza media è $V^2/R$ , e $R = 230^2/1000 \approx 52{,}9\ \Omega$ .

Commento: con i valori efficaci le formule della potenza sono quelle della continua. È il motivo per cui si usano: una stufa da $1$ kW a $230$ V efficaci si calcola come se la tensione fosse costante.

Esercizio 2. Un resistore da $30\ \Omega$ in serie a un induttore da $127$ mH è alimentato a $230$ V, $50$ Hz. Calcola corrente, tensioni e sfasamento.

$\omega L = 314\cdot0{,}127 \approx 40\ \Omega$ , quindi $\bar Z = 30 + j40\ \Omega$ , di modulo $50\ \Omega$ e argomento $\arctan(4/3) \approx 53{,}1°$ . Con la tensione come riferimento, $\bar I = 230/\bar Z$ ha modulo $4{,}6$ A ed è in ritardo di $53{,}1°$ . Le tensioni hanno moduli $V_R = 30\cdot4{,}6 = 138$ V e $V_L = 40\cdot4{,}6 = 184$ V.

Commento: $138 + 184 = 322$ V, più dei $230$ del generatore, ma $\sqrt{138^2 + 184^2} = 230$ : è il triangolo del diagramma vettoriale. Chi misura con un voltmetro le due tensioni e le somma crede di aver trovato un errore nello strumento.

Esercizio 3. Un resistore da $1$ kΩ è in parallelo a un condensatore da $159$ nF. Calcola l’impedenza a $1$ kHz.

$\omega C = 2\pi\cdot1000\cdot159\times10^{-9} \approx 10^{-3}$ S, quindi $\bar Y = 10^{-3} + j10^{-3}$ S e

\bar Z = \frac1{\bar Y} = \frac{10^{-3} - j10^{-3}}{2\times10^{-6}} = 500 - j500\ \Omega ,

di modulo $707\ \Omega$ e argomento $-45°$ .

Commento: a questa frequenza resistore e condensatore hanno la stessa ammettenza in modulo, e l’impedenza del parallelo è $1/\sqrt2$ di ciascuno. È la frequenza di taglio del filtro RC, $1/(2\pi RC)$ , che nell’analisi in frequenza del percorso di elettronica diventa un polo.

Esercizio 4. Un circuito RLC serie con $R = 20\ \Omega$ , $L = 10$ mH e $C = 1$ µF è alimentato con $1$ V efficace. A quale pulsazione l’impedenza è puramente resistiva? Quanto valgono lì la corrente e la tensione dell’induttore?

$\bar Z = R + j(\omega L - 1/\omega C)$ è reale per $\omega L = 1/\omega C$ , cioè $\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 10^4$ rad/s. Lì $\bar Z = 20\ \Omega$ , la corrente è $50$ mA e la tensione dell’induttore ha modulo $\omega_0 L\cdot I = 100\cdot0{,}05 = 5$ V; quella del condensatore è uguale e opposta.

Commento: alla risonanza le reattanze si annullano a vicenda e sull’induttore e sul condensatore compaiono tensioni cinque volte più grandi di quella applicata, il fattore di qualità dell’articolo sui transitori. È la pulsazione a cui il circuito, lasciato libero, oscillerebbe da solo; è anche il principio dei circuiti di sintonia delle radio, e la ragione per cui un condensatore in serie a un induttore può sopportare tensioni molto più alte di quelle della rete che lo alimenta.

Esercizio 5. Il fasore di una corrente è $\bar I = -3 - j4$ A. Scrivi $i(t)$ a $50$ Hz.

Il modulo è $5$ A. Il punto sta nel terzo quadrante, e l’argomento è $-\pi + \arctan(4/3) \approx -126{,}9°$ , cioè circa $-2{,}214$ rad. Quindi $i(t) = 5\sqrt2\sin(314\,t - 2{,}214)$ A.

Commento: $\arctan(y/x) = \arctan(4/3) \approx 53{,}1°$ darebbe un fasore opposto, con la corrente sfasata di mezzo periodo. È un errore frequente, e con una calcolatrice si evita usando la funzione a due argomenti, spesso indicata come atan2.

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