La giunzione pn all'equilibrio

Una zona p accanto a una zona n

Una giunzione pn è un cristallo di silicio con una zona di tipo $p$ accanto a una di tipo $n$. Non si fa incollando due pezzi: si parte da un wafer drogato, per esempio di tipo $p$, e in una sua zona si aggiunge il drogante opposto in quantità sufficiente a invertire il tipo, come si è visto nell’articolo sul drogaggio. La superficie che separa le due zone si chiama giunzione metallurgica. La prima giunzione la notò per caso Russell Ohl ai Bell Labs, nel 1940, in una barretta di silicio che sotto la luce dava una tensione; la teoria la scrisse William Shockley nel 1949. Oggi quasi ogni dispositivo elettronico ne contiene almeno una.

Il caso più semplice è la giunzione brusca: il drogaggio vale $N_A$ per $x < 0$ e $N_D$ per $x > 0$, e cambia di colpo in $x = 0$. Appena le due zone sono a contatto, le lacune, numerose a sinistra, diffondono verso destra, e gli elettroni diffondono da destra verso sinistra. Ogni lacuna che se ne va lascia nella zona $p$ uno ione accettore negativo non più compensato, ogni elettrone lascia nella zona $n$ uno ione donore positivo. Nasce così una carica negativa a sinistra della giunzione e una positiva a destra, e con loro un campo elettrico diretto dalla zona $n$ alla zona $p$, che spinge le lacune indietro verso sinistra e gli elettroni verso destra: la deriva si oppone alla diffusione. All’equilibrio, per ciascun tipo di portatore, la corrente di deriva e quella di diffusione si annullano, come nell’esempio del drogaggio non uniforme.

Attorno alla giunzione resta una zona quasi priva di portatori, in cui la carica degli ioni non è compensata: si chiama zona svuotata, o regione di carica spaziale. A sinistra e a destra, lontano dalla giunzione, le due zone neutre sono come erano prima del contatto. Il cristallo nel suo insieme resta neutro.

Il campo e il potenziale

Per calcolare il campo serve la densità di carica. Nella zona svuotata elettroni e lacune sono pochissimi rispetto agli ioni dei droganti, e si possono trascurare: è l’approssimazione di svuotamento, che si giustifica più avanti. Con questa approssimazione la densità di carica vale $-qN_A$ tra $-x_p$ e $0$, $+qN_D$ tra $0$ e $x_n$, e zero altrove. In una dimensione, con la permittività del silicio $\varepsilon_{Si} = 1{,}04\times10^{-12}$ F/cm, il teorema di Gauss e la definizione di potenziale danno

$$\frac{d\mathcal E}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon_{Si}} , \qquad \mathcal E = -\frac{dV}{dx} ,$$

e insieme l’equazione di Poisson $d^2V/dx^2 = -\rho/\varepsilon_{Si}$.

L’uguaglianza $N_Ax_p = N_Dx_n$ dice che le cariche delle due metà della zona svuotata sono uguali e opposte: la zona più drogata si svuota per uno spessore minore. Il campo è diretto verso le $x$ negative, dalla carica positiva a quella negativa, ed è massimo in modulo sulla giunzione metallurgica, dove vale $qN_Ax_p/\varepsilon_{Si}$. Il potenziale è fatto di due archi di parabola, più curvi dalla parte più drogata.

La proposizione lega $\Phi_{bi}$ a $x_p$ e $x_n$, ma non basta a calcolarli: manca una condizione.

La tensione di built-in

La condizione mancante è l’equilibrio. Nell’articolo sul livello di Fermi si è visto che un sistema all’equilibrio ha un solo livello di Fermi. Prima del contatto il livello di Fermi della zona $n$ sta vicino alla banda di conduzione e quello della zona $p$ vicino alla banda di valenza. Dopo il contatto gli elettroni passano dalla zona $n$ alla zona $p$ finché i due livelli non coincidono, e le bande della zona $n$ scendono rispetto a quelle della zona $p$ proprio di quanto serve.

Con $N_A = 10^{16}$ e $N_D = 4\times10^{15}\ \text{cm}^{-3}$, $\Phi_{bi} = 0{,}02585\cdot\ln(4\times10^{31}/10^{20}) = 0{,}69$ V. Nel silicio a temperatura ambiente la tensione di built-in sta quasi sempre tra $0{,}6$ e $0{,}9$ V, perché i drogaggi entrano solo nel logaritmo. Non può superare $E_g/q$: ciascuno dei due termini è la distanza tra il livello di Fermi e il centro del gap, minore di $E_g/2$ finché il semiconduttore non è degenere.

L’estensione della zona svuotata

Con la tensione di built-in nota, le due condizioni trovate bastano a calcolare $x_p$ e $x_n$.

Per la giunzione delle figure, $x_d = 0{,}56$ μm, con $x_p = 0{,}16$ μm e $x_n = 0{,}40$ μm, e il campo massimo è $2\cdot0{,}69\ \text{V}/5{,}6\times10^{-5}\ \text{cm} = 25$ kV/cm. Mezzo micrometro e decine di kilovolt al centimetro sono gli ordini di grandezza tipici. Quando una zona è molto più drogata dell’altra, per esempio in una giunzione $p^+n$ con $N_A \gg N_D$, la zona svuotata sta quasi tutta dalla parte meno drogata, e $x_d \approx \sqrt{2\varepsilon_{Si}\Phi_{bi}/qN_D}$.

I portatori nella zona svuotata

Con il livello di Fermi uniforme e le bande che seguono il potenziale, le densità dei portatori si calcolano in ogni punto, anche dentro la zona svuotata. Presa come riferimento la zona neutra $p$, dove $V = 0$,

$$p(x) = N_A\,e^{-V(x)/V_T} , \qquad n(x) = \frac{n_i^2}{N_A}\,e^{V(x)/V_T} ,$$

e il prodotto $np$ resta $n_i^2$ ovunque. Per la giunzione delle figure il potenziale sulla giunzione metallurgica vale $V(0) = qN_Ax_p^2/2\varepsilon_{Si} = 0{,}197$ V, e lì le lacune sono $10^{16}\,e^{-0{,}197/0{,}02585} = 4{,}8\times10^{12}\ \text{cm}^{-3}$ e gli elettroni $10^{4}\,e^{0{,}197/0{,}02585} = 2{,}1\times10^{7}\ \text{cm}^{-3}$: tanti in assoluto, ma duemila volte meno degli ioni accettori.

L’approssimazione di svuotamento sbaglia solo vicino ai bordi della zona svuotata, dove il potenziale si è appena staccato da quello della zona neutra. Le lacune sono ancora una frazione apprezzabile di $N_A$ finché il potenziale è salito di poche $V_T$: vicino a $-x_p$ vale $V = qN_A(x + x_p)^2/2\varepsilon_{Si}$, e $V$ raggiunge $V_T$ a una distanza $\sqrt{2\varepsilon_{Si}V_T/qN_A} = 58$ nm dal bordo. Il bordo vero è sfumato su qualche decina di nanometri, contro i $160$ nm di $x_p$: abbastanza poco perché la zona svuotata disegnata come un rettangolo dia i risultati giusti.

I contatti e la tensione che non si misura

Per usare una giunzione bisogna collegarla a un circuito. Sulle due zone neutre si depositano dei contatti metallici, di alluminio o di altri metalli, fatti in modo da lasciar passare la corrente nei due versi con una resistenza trascurabile: si chiamano contatti ohmici, e si ottengono drogando molto forte il semiconduttore sotto il metallo. La loro fisica va oltre questo percorso; ne serve una proprietà, che si userà nella giunzione polarizzata: vicino a un contatto ohmico le densità dei portatori restano quelle dell’equilibrio.

Viene spontaneo pensare di misurare $\Phi_{bi}$ con un voltmetro. Non si può.

La differenza di potenziale della giunzione è compensata esattamente dai salti di potenziale ai due contatti tra metallo e semiconduttore. Se non fosse così, una giunzione a temperatura uniforme farebbe circolare corrente in un circuito esterno e fornirebbe energia prendendola da un solo corpo a temperatura costante, contro il secondo principio della termodinamica. $\Phi_{bi}$ non si misura, ma si vede: quando la giunzione è polarizzata, o illuminata, la barriera cambia, e la corrente cambia con lei.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Una giunzione brusca al silicio ha $N_A = 10^{17}$ e $N_D = 10^{16}\ \text{cm}^{-3}$. Calcola a $300$ K la tensione di built-in, l’estensione della zona svuotata nelle due zone e il campo massimo.

$\Phi_{bi} = 0{,}02585\cdot\ln(10^{33}/10^{20}) = 0{,}02585\cdot29{,}93 = 0{,}774$ V. Il fattore $2\varepsilon_{Si}\Phi_{bi}/q$ vale $2\cdot1{,}04\times10^{-12}\cdot0{,}774/1{,}602\times10^{-19} = 1{,}00\times10^{7}\ \text{cm}^{-1}$, e la larghezza è

$$x_d = \sqrt{1{,}00\times10^{7}\cdot\left(10^{-17} + 10^{-16}\right)}\ \text{cm} = 0{,}33\ \text{μm} ,$$

con $x_p = x_d/11 = 30$ nm e $x_n = 10\,x_d/11 = 0{,}30$ μm. Il campo massimo è $2\cdot0{,}774/3{,}32\times10^{-5} = 47$ kV/cm.

Commento: dieci volte il drogaggio, un decimo dello spessore. Rispetto alla giunzione delle figure, con drogaggi da dieci a venticinque volte più alti, la zona svuotata è larga poco più della metà e il campo è quasi il doppio: $x_d$ va come l’inverso della radice dei drogaggi.

Esercizio 2. Una giunzione $p^+n$ ha $N_A = 10^{18}$ e $N_D = 10^{15}\ \text{cm}^{-3}$. Calcola $\Phi_{bi}$, $x_p$, $x_n$ e la caduta di potenziale nella parte $p$ della zona svuotata.

Il prodotto dei drogaggi è $10^{33}$, lo stesso dell’esercizio precedente, e $\Phi_{bi} = 0{,}774$ V. La larghezza è $x_d = \sqrt{1{,}00\times10^{7}\cdot(10^{-18} + 10^{-15})} = 1{,}00\times10^{-4}$ cm, cioè $1{,}0$ μm, con $x_n = 1{,}0$ μm e $x_p = x_d\cdot10^{15}/(1{,}001\times10^{18}) = 1{,}0$ nm. Il campo massimo è $2\cdot0{,}774/10^{-4} = 15$ kV/cm, e nella parte $p$, dove il campo scende linearmente a zero in $1$ nm, la caduta è $\tfrac12\cdot15\,400\ \text{V/cm}\cdot10^{-7}\ \text{cm} = 0{,}8$ mV.

Commento: stessa tensione di built-in, ma distribuita in modo completamente diverso. In una giunzione asimmetrica tutto succede dalla parte meno drogata, e la parte più drogata si comporta quasi come un metallo. Molti dispositivi sono fatti così, e i conti si fanno su una zona sola.

Esercizio 3. Nella giunzione delle figure, con $N_A = 10^{16}$ e $N_D = 4\times10^{15}\ \text{cm}^{-3}$, in quale punto elettroni e lacune hanno la stessa densità?

Dove $n = p = n_i$ il livello di Fermi coincide con $E_i$, e il potenziale, rispetto alla zona neutra $p$, vale $V_T\ln(N_A/n_i) = 0{,}02585\cdot\ln10^{6} = 0{,}357$ V. Sulla giunzione metallurgica $V(0) = 0{,}197$ V, quindi il punto è nella zona $n$, dove $V = \Phi_{bi} - qN_D(x_n - x)^2/2\varepsilon_{Si}$:

$$x_n - x = \sqrt{\frac{2\varepsilon_{Si}\,(\Phi_{bi} - 0{,}357\ \text{V})}{qN_D}} ,$$

che con $\Phi_{bi} - 0{,}357$ V $= 0{,}334$ V e $qN_D = 6{,}41\times10^{-4}$ C/cm³ vale $3{,}3\times10^{-5}$ cm, cioè $0{,}33$ μm,

e quindi $x = 0{,}40 - 0{,}33 = 0{,}07$ μm.

Commento: il punto in cui la giunzione è «intrinseca» non coincide con la giunzione metallurgica, ma è spostato verso la zona meno drogata, come la zona svuotata. Nella figura delle concentrazioni è l’incrocio delle due curve.

Esercizio 4. Come cambia la tensione di built-in della giunzione delle figure passando da $300$ a $350$ K? A $350$ K la densità intrinseca è circa $3{,}5\times10^{11}\ \text{cm}^{-3}$.

Con $kT/q = 30{,}16$ mV, $\Phi_{bi} = 0{,}03016\cdot\ln(4\times10^{31}/1{,}2\times10^{23}) = 0{,}03016\cdot19{,}6 = 0{,}59$ V, contro $0{,}69$ V a $300$ K.

Commento: la tensione di built-in scende di circa $2$ mV per kelvin. Il fattore $kT$ davanti al logaritmo cresce, ma $n_i^2$ dentro il logaritmo cresce molto più in fretta. La stessa dipendenza dalla temperatura, circa $-2$ mV/K, si ritrova nella tensione ai capi di un diodo in conduzione, che per questo si usa come sensore di temperatura.