Il principio di relatività di Galileo

Misurare lo spazio e il tempo

Prima di scrivere una legge del moto bisogna dire come si misurano le grandezze che vi compaiono: dove si trova un corpo, e in quale istante. In tutto il percorso il corpo è una particella puntiforme, un oggetto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alle distanze in gioco.

Le lunghezze si misurano con un regolo, un’asta rigida con due tacche la cui distanza è l’unità di misura. Tra tutte le linee che uniscono due punti ce n’è una di lunghezza minima: quella lunghezza è la distanza tra i due punti, e le linee di lunghezza minima si chiamano geodetiche. Nello spazio ordinario le geodetiche sono le rette. Su una superficie curva, come una sfera, le rette non esistono più ma le geodetiche sì, e il concetto tornerà nella relatività generale.

Con distanze e rette si definiscono gli angoli e la perpendicolarità, e quindi un sistema di riferimento: tre rette perpendicolari che si incontrano in un punto, l’origine. Le coordinate $(x, y, z)$ di un punto sono le sue distanze, con segno, dai tre piani individuati dalle rette prese a due a due.

Il tempo si misura con un orologio. Come orologio ideale si prendono due specchi paralleli a distanza fissa, tra i quali un impulso di luce rimbalza senza attenuarsi: l’intervallo tra due arrivi successivi sullo stesso specchio è l’unità di tempo. Per la meccanica di Galileo è una scelta curiosa, ma è l’orologio che servirà con Einstein.

Il principio d’inerzia

Il moto di un corpo cambia per effetto di altri corpi: le interazioni, o forze. Prima di chiedersi come le forze cambiano il moto conviene chiedersi che cosa fa una particella su cui non agisce nessuna forza, una particella libera.

Nessun esperimento elimina del tutto le interazioni, ma si osserva una tendenza netta: più si riducono, più il corpo si avvicina a un moto rettilineo uniforme, di cui la quiete è il caso con velocità nulla. C’è però una condizione. Su un’auto che percorre una strada tortuosa una biglia libera non va dritta. Anche il tavolo di un laboratorio, a guardare con molta precisione, non va bene: il piano di oscillazione del pendolo di Foucault ruota lentamente, per effetto della rotazione della Terra.

I sistemi di riferimento in cui la particella libera va davvero dritta a velocità costante si chiamano inerziali. Il ragionamento ha un giro vizioso: un sistema è inerziale se vale il principio d’inerzia, e il principio si può controllare solo in un sistema inerziale. La fisica ne esce assumendo che sistemi del genere esistano.

Circoli di questo tipo non sono rari nei fondamenti della fisica: anche il secondo principio della dinamica, $\mathbf F = m\mathbf a$, definisce insieme la forza e la massa.

Il principio di relatività

Chiusi in un vagone fermo in stazione si studiano le oscillazioni di una molla e gli urti tra biglie. Il treno parte, raggiunge la velocità di crociera e la mantiene su un binario dritto e senza scosse. Ripetendo gli esperimenti si ottengono gli stessi risultati: senza guardare fuori non c’è modo di stabilire se il treno è fermo o in moto.

Il principio d’inerzia è una di queste leggi. Trovato un sistema inerziale, sono inerziali anche tutti quelli in moto uniforme rispetto a lui: lo si verificherà con le trasformazioni di Galileo. Nessun esperimento ha mai individuato tra loro un sistema privilegiato, fermo in senso assoluto. Newton credeva nello spazio e nel tempo assoluti, e più tardi l’etere, il mezzo in cui si pensava si propagassero le onde elettromagnetiche, fu proposto come sistema di quiete assoluta; l’etere non è mai stato osservato.

Il principio di relatività è una simmetria: un’operazione che lascia qualcosa invariato. Ruotare un quadrato di un angolo retto attorno al centro restituisce la stessa figura; passare da un osservatore inerziale a un altro lascia invariate le leggi fisiche. Nei prossimi paragrafi le simmetrie servono a ricavare come cambiano le coordinate da un osservatore all’altro, invece di darlo per ovvio.

Le trasformazioni di Galileo

Due osservatori inerziali $K$ e $K'$ studiano la stessa particella. $K$ assegna a un evento, cioè a un punto in un istante, le coordinate $(x, y, z, t)$; $K'$ le coordinate $(x', y', z', t')$, entrambi con assi cartesiani ortogonali. Gli assi dei due sistemi sono paralleli, $K'$ si muove rispetto a $K$ con velocità costante $V$ nel verso positivo dell’asse $x$, e le due origini coincidono all’istante $t = 0$. Rispetto a $K'$, il sistema $K$ si muove con velocità $-V$.

Le ipotesi da cui si parte sono queste.

1. Linearità. Le coordinate di un sistema sono funzioni lineari di quelle dell’altro. È l’ipotesi naturale per due ragioni. Un moto rettilineo uniforme, la cui legge oraria è lineare nel tempo, deve restare rettilineo uniforme per entrambi gli osservatori, e le trasformazioni lineari mandano leggi lineari in leggi lineari. E poiché $K$ e $K'$ sono equivalenti, la trasformazione e la sua inversa devono avere la stessa forma, cosa garantita per le trasformazioni lineari: l’inversa di $x = \sqrt{x'}$, per esempio, è $x' = x^2$, di tutt’altro tipo. Questi argomenti rendono la linearità ragionevole ma non la dimostrano, e qui la si assume.
2. Moto lungo $x$. Il moto relativo avviene lungo l’asse $x$, quindi $x'$ può dipendere solo da $x$ e da $t$, mentre $y'$ dipende solo da $y$ e $z'$ solo da $z$.
3. Isotropia dello spazio. Le direzioni $y$ e $z$ sono equivalenti, quindi hanno lo stesso coefficiente, e perpendicolarmente al moto il verso di $V$ non conta: quel coefficiente è lo stesso per $V$ e per $-V$.
4. Tempo assoluto. Il tempo è lo stesso per i due osservatori: $t' = t$. È l’ipotesi su cui si regge la fisica di Newton, ed è quella che la relatività ristretta abbandonerà.
5. Relatività. $K$ si muove rispetto a $K'$ con velocità $-V$: la trasformazione inversa si ottiene da quella diretta scambiando le coordinate con apice e senza apice e mettendo $-V$ al posto di $V$.
6. Continuità. I coefficienti dipendono con continuità da $V$, e per $V = 0$ la trasformazione è l’identità.

Con le ipotesi 1-4 la trasformazione ha la forma

$$x' = A(V)\,x + B(V)\,t, \qquad y' = C(V)\,y, \qquad z' = C(V)\,z, \qquad t' = t,$$

con coefficienti $A$, $B$, $C$ che dipendono solo da $V$.

La struttura della formula è la stessa nei due versi: coordinata in un sistema uguale a coordinata nell’altro più la velocità di quell’altro sistema moltiplicata per il tempo. Se la velocità relativa $\mathbf V$ ha una direzione qualsiasi, con gli assi sempre paralleli, le stesse ipotesi portano alla forma vettoriale

$$\mathbf r' = \mathbf r - \mathbf V t, \qquad t' = t.$$

Ecco la verifica promessa: una particella libera ha $\mathbf a = 0$ in $K$, quindi $\mathbf a' = 0$ in $K'$, e anche $K'$ è inerziale. Si è usato che la particella libera per $K$ lo sia anche per $K'$, e lo è, perché le interazioni dipendono dai corpi presenti e non da chi osserva.

Rotazioni e invarianza della distanza

Due sistemi inerziali possono anche avere la stessa origine e gli assi ruotati di un angolo fisso. Fisso, perché se i due sistemi ruotassero l’uno rispetto all’altro almeno uno dei due non sarebbe inerziale. Il tempo è assoluto e resta fuori dal discorso: interessano le coordinate spaziali.

Qui la simmetria da imporre è diversa. Le coordinate di un punto cambiano passando da un sistema all’altro, ma la sua distanza dall’origine no: nello spazio euclideo la distanza tra due punti, data dal teorema di Pitagora, non dipende dall’osservatore. È un’affermazione così ovvia da passare inosservata, e in relatività smetterà di valere.

Si scrivono le coordinate come vettore colonna $\mathbf x = (x, y, z)$ e si assume di nuovo una trasformazione lineare, $\mathbf x' = R\,\mathbf x$, con $R$ matrice quadrata costante; $R^{\mathsf T}$ è la trasposta e $I$ la matrice identità.

Le matrici con $R^{\mathsf T}R = I$ si chiamano ortogonali. Nel piano si possono scrivere esplicitamente.

La prima famiglia contiene le rotazioni. Con $R_+$ le formule sono

$$x' = x\cos\varphi + y\sin\varphi, \qquad y' = -x\sin\varphi + y\cos\varphi,$$

e, poiché per una matrice ortogonale $R^{-1} = R^{\mathsf T}$, l’inversa è $x = x'\cos\varphi - y'\sin\varphi$, $y = x'\sin\varphi + y'\cos\varphi$. I punti dell’asse $x'$ sono quelli con $y' = 0$, cioè $x = x'\cos\varphi$, $y = x'\sin\varphi$: l’asse $x'$ forma l’angolo $\varphi$ con l’asse $x$, e $\varphi$ è l’angolo di cui sono ruotati gli assi. Per $\varphi = 0$, $R_+$ è l’identità.

La seconda famiglia non contiene l’identità: per $\varphi = 0$, $R_-$ lascia $x$ invariato e cambia segno a $y$. È uno specchiamento, eventualmente seguito da una rotazione, e non si ottiene ruotando con continuità gli assi a partire da quelli di $K$. Se ai due sistemi si aggiunge una traslazione, alle formule si somma un vettore costante, che scompare nelle differenze di coordinate: la distanza tra due punti resta invariata.

In una rotazione ogni coordinata nuova mescola le coordinate vecchie: $x'$ dipende sia da $x$ sia da $y$. Tenere a mente questo mescolamento aiuta quando, con le trasformazioni di Lorentz, a mescolarsi saranno lo spazio e il tempo.

Vettori e leggi covarianti

Il prototipo di vettore è lo spostamento da un punto a un altro, una freccia che esiste indipendentemente dal sistema di riferimento. Scelto un sistema, lo spostamento ha tre componenti, le differenze delle coordinate, e passando a un sistema ruotato queste cambiano con la stessa matrice delle coordinate: $\Delta\mathbf x' = R\,\Delta\mathbf x$. Questo dà un modo operativo di riconoscere un vettore: una terna di numeri che per rotazione del sistema di riferimento si trasforma con $R$.

La velocità $\mathbf v = d\mathbf r/dt$ è un vettore: si ottiene dividendo uno spostamento per l’intervallo di tempo $dt$, che è lo stesso per tutti gli osservatori, e $R$ è costante. Per la stessa ragione è un vettore l’accelerazione. La massa è uno scalare, un numero uguale per tutti gli osservatori, e quindi $\mathbf F = m\mathbf a$ è un vettore anch’essa, come la quantità di moto $\mathbf p = m\mathbf v$.

Il cambio più generale tra due sistemi inerziali con le origini coincidenti a $t = 0$ unisce una rotazione fissa e un moto uniforme: $\mathbf r' = R\,(\mathbf r - \mathbf V t)$, $t' = t$, con $R$ ortogonale e $\mathbf V$ costanti.

L’ipotesi $\mathbf F' = R\,\mathbf F$ è soddisfatta dalle forze che dipendono dalle posizioni e dalle velocità relative dei corpi. Per due particelle, $\mathbf r_1' - \mathbf r_2' = R\,(\mathbf r_1 - \mathbf r_2)$ e $\mathbf v_1' - \mathbf v_2' = R\,(\mathbf v_1 - \mathbf v_2)$, perché il termine con $\mathbf V$ si cancella. Una molla tesa tra le due particelle esercita sulla prima la forza $\mathbf F = -k\,(\mathbf r_1 - \mathbf r_2)$, e in $K'$ la stessa legge dà $\mathbf F' = -k\,(\mathbf r_1' - \mathbf r_2') = R\,\mathbf F$. Una forza che dipendesse dalle posizioni assolute non passerebbe la prova, come mostra l’esercizio 3: il principio di relatività pone vincoli precisi alla forma delle interazioni.

Una legge i cui due membri si trasformano allo stesso modo si dice covariante. Scritta componente per componente, $F_x = m a_x$ cambia aspetto per un osservatore con gli assi ruotati, perché la componente $x$ di un vettore non è la sua componente $x'$. Scritta con i vettori, $\mathbf F = m\mathbf a$ ha la stessa forma per tutti. Non è solo una scrittura più corta: i vettori portano con sé la simmetria dello spazio euclideo, l’invarianza delle distanze, e le leggi scritte con loro la rispettano per costruzione.

Quando una legge non riesce a essere covariante, le simmetrie in gioco sono diverse da queste. Una carica ferma produce solo un campo elettrico; un osservatore in moto rispetto alla carica misura anche un campo magnetico, che per il primo non c’era. Una grandezza che compare per alcuni osservatori e non per altri non può stare in una legge covariante per le trasformazioni di Galileo. È il segnale che l’elettromagnetismo ha simmetrie diverse da quelle di questo articolo, e il punto da cui parte il prossimo.

Il gradiente è un vettore

Oltre alle particelle, la fisica descrive campi: un campo scalare assegna un numero a ogni punto dello spazio, come la temperatura di una stanza, un campo vettoriale un vettore, come la velocità di un fluido. Un campo scalare $\Phi$ ha lo stesso valore in uno stesso punto per tutti gli osservatori. Con l’operatore nabla, $\nabla = (\partial/\partial x,\ \partial/\partial y,\ \partial/\partial z)$, si costruiscono il gradiente $\nabla\Phi$ di un campo scalare e la divergenza $\nabla \cdot \mathbf V = \sum_i \partial V_i/\partial x_i$ di un campo vettoriale. Che il gradiente, una terna di derivate, sia un vettore nel senso del paragrafo precedente va verificato.

Il risultato sul gradiente ha anche una lettura intuitiva. La variazione del campo tra due punti vicini, $d\Phi = \sum_i (\partial\Phi/\partial x_i)\,dx_i$, è la stessa per tutti gli osservatori, e ha la forma di un prodotto scalare tra le derivate e lo spostamento $d\mathbf x$, che è un vettore: perché il prodotto non cambi, anche le derivate devono trasformarsi come un vettore. Il rotore $\nabla \times \mathbf V$ si trasforma come un vettore per le rotazioni, cioè per le matrici ortogonali con determinante $+1$; la dimostrazione richiede le proprietà del determinante e qui non la si svolge. Per uno specchiamento il rotore cambia verso rispetto a un vettore ordinario: per questo si dice pseudovettore.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un treno viaggia su un binario rettilineo a $V = 20$ m/s. Un passeggero cammina verso la testa del treno a $1{,}5$ m/s rispetto al vagone. (a) Quanto vale la sua velocità rispetto ai binari? (b) Un altro passeggero, fermo, lascia cadere una moneta da un’altezza di $1{,}2$ m. Descrivi la caduta per chi è sul treno e per chi è fermo sul marciapiede, trascurando la resistenza dell’aria.

(a) Con $K$ solidale ai binari e $K'$ al treno, la composizione delle velocità dà $v = v' + V = 1{,}5 + 20 = 21{,}5$ m/s.

(b) In $K'$ la moneta parte da ferma e cade in verticale con accelerazione $g = 9{,}81$ m/s². Il tempo di caduta è $t = \sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \cdot 1{,}2/9{,}81} \approx 0{,}495$ s, e la moneta tocca il pavimento sotto la mano che l’ha lasciata. In $K$ l’accelerazione è la stessa, $\mathbf a = \mathbf a'$, ma la velocità iniziale è quella del treno, $20$ m/s in orizzontale: la traiettoria è un arco di parabola. Il tempo di caduta è lo stesso, $t = t'$, e in quel tempo la moneta avanza di $20 \cdot 0{,}495 \approx 9{,}9$ m rispetto ai binari, esattamente quanto avanza la mano.

Commento: l’errore frequente è pensare che, vista da terra, la moneta «resti indietro» rispetto al treno. Resterebbe indietro solo se l’aria del vagone fosse ferma rispetto ai binari. I due osservatori vedono traiettorie diverse, una retta e una parabola, ma la stessa accelerazione e lo stesso punto d’arrivo sul pavimento del vagone: è il principio di relatività al lavoro.

Esercizio 2. In $K$ il punto $P$ ha coordinate $(3, 4)$. Il sistema $K'$ ha la stessa origine e gli assi ruotati di $\varphi = 30°$. Calcola le coordinate di $P$ in $K'$ e verifica che la distanza dall’origine non cambia.

Con $\cos 30° = \sqrt3/2$ e $\sin 30° = 1/2$:

$$x' = 3\cdot\frac{\sqrt3}{2} + 4\cdot\frac12 = \frac{3\sqrt3 + 4}{2} \approx 4{,}60, \qquad y' = -3\cdot\frac12 + 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{4\sqrt3 - 3}{2} \approx 1{,}96.$$

Verifica: $x'^2 + y'^2 = \dfrac{(27 + 24\sqrt3 + 16) + (48 - 24\sqrt3 + 9)}{4} = \dfrac{100}{4} = 25$, quindi la distanza è $5$, come in $K$, dove $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

Commento: conviene fare la verifica con i valori esatti. Con i decimali arrotondati si ottiene $24{,}99$ o $25{,}01$, e non si capisce se l’errore sta nel calcolo o nell’arrotondamento. Il segno più comune da sbagliare è quello di $-x\sin\varphi$ in $y'$: un controllo rapido è che per $\varphi = 90°$ la formula deve dare $x' = y$ e $y' = -x$.

Esercizio 3. Si ipotizzi che su una particella agisca, da parte di un’altra, la forza $\mathbf F = k\,(\mathbf r_1 + \mathbf r_2)$, dove $\mathbf r_1$ e $\mathbf r_2$ sono le posizioni delle due particelle e $k$ una costante. Mostra che una legge del genere è incompatibile con il principio di relatività, mentre $\mathbf F = k\,(\mathbf r_1 - \mathbf r_2)$ non lo è.

Si passa a $K'$ con $\mathbf r' = \mathbf r - \mathbf V t$, $\mathbf V \neq 0$. Se la legge valesse in entrambi i sistemi, in $K'$ la forza sarebbe $\mathbf F' = k\,(\mathbf r_1' + \mathbf r_2') = k\,(\mathbf r_1 + \mathbf r_2) - 2k\mathbf V t = \mathbf F - 2k\mathbf V t$. Ma l’accelerazione è la stessa nei due sistemi, e la massa pure, quindi dal secondo principio $\mathbf F' = m\mathbf a' = m\mathbf a = \mathbf F$. Le due cose sono compatibili solo se $2k\mathbf V t = 0$ per ogni $t$, cioè $k = 0$: non esiste una forza non nulla di quel tipo che valga per tutti gli osservatori inerziali. Con la differenza, invece, $\mathbf r_1' - \mathbf r_2' = \mathbf r_1 - \mathbf r_2$, e la forza è la stessa in $K$ e in $K'$.

Commento: lo stesso problema si presenta anche senza moto relativo, spostando semplicemente l’origine di un vettore fisso $\mathbf d$: la somma cambia di $-2\mathbf d$, la differenza no. Una forza che dipende dalla posizione assoluta distinguerebbe un punto dello spazio dagli altri, contro l’omogeneità dello spazio.

Esercizio 4. Sia $\Phi(x, y) = xy$. Calcola il gradiente nel punto $P = (1, 2)$ in $K$ e in un sistema $K'$ ruotato di $\varphi = 90°$, e verifica che $\nabla'\Phi = R\,\nabla\Phi$.

In $K$: $\nabla\Phi = (y, x)$, che in $P$ vale $(2, 1)$.

Per $\varphi = 90°$, $R = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, quindi $x' = y$ e $y' = -x$, cioè $x = -y'$ e $y = x'$. Il campo nelle nuove coordinate è $\Phi = xy = -x'y'$, con gradiente $\nabla'\Phi = (-y', -x')$. Il punto $P$ in $K'$ ha $x' = 2$, $y' = -1$, e lì $\nabla'\Phi = (1, -2)$.

D’altra parte $R\,\nabla\Phi = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$. I due risultati coincidono.

Commento: il passaggio delicato è riscrivere $\Phi$ nelle coordinate nuove, che richiede la trasformazione inversa, $x = -y'$ e $y = x'$, e non quella diretta. Scambiarle è l’errore più comune, e porta a un gradiente con i segni sbagliati.