Le equazioni di Einstein

Fisica · Relatività generale Articolo 14 settembre 2026

Percorso: Relatività generale · 10 di 13

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Indice

I due membri

Il membro di destra delle equazioni del campo gravitazionale è pronto: il tensore energia-impulso $T_{\mu\nu}$ , simmetrico, con la derivata covariante nulla, $T^{\mu\nu}{}_{;\nu} = 0$ , che esprime la conservazione dell’energia e della quantità di moto. A sinistra deve stare la curvatura. Il tensore di Riemann ne contiene tutta l’informazione, ma ha quattro indici e non può essere uguagliato a un tensore di rango due. Servono un tensore simmetrico di rango due, costruito con il tensore metrico e le sue derivate, e una costante di proporzionalità. L’equazione cercata è $G_{\mu\nu} = 8\pi G\,T_{\mu\nu}/c^4$ , dove $G_{\mu\nu}$ è il tensore di Einstein, da non confondere con la costante di Newton $G$ . Questo articolo lo costruisce e fissa la costante.

C’è un vincolo in più. La divergenza covariante del membro di destra è nulla per la conservazione, quindi deve esserlo anche quella del membro di sinistra, e per ogni tensore metrico: altrimenti le equazioni imporrebbero alla geometria condizioni che non vengono dalla materia.

Il tensore di Einstein

I tensori simmetrici di rango due a disposizione sono il tensore metrico $g_{\mu\nu}$ e il tensore di Ricci $R_{\mu\nu}$ ; c’è poi lo scalare di Ricci $R$ . Né $R_{\mu\nu}$ né $g_{\mu\nu}R$ hanno divergenza nulla, ma le loro divergenze sono proporzionali.

Teorema (identità di Bianchi contratta)

R^\mu{}_{\nu;\mu} = \frac12\,R_{;\nu}, \qquad\text{e quindi}\qquad \Big(R^\mu{}_\nu - \frac12\,\delta^\mu_\nu R\Big)_{;\mu} = 0 .

Dimostrazione.

Si parte dall’identità di Bianchi dell’articolo sul tensore di Riemann, $R^\mu{}_{\nu\lambda\sigma;\rho} + R^\mu{}_{\nu\sigma\rho;\lambda} + R^\mu{}_{\nu\rho\lambda;\sigma} = 0$ , e si contrae $\mu$ con $\lambda$ . Il primo termine dà $R_{\nu\sigma;\rho}$ ; il terzo, poiché $R^\mu{}_{\nu\rho\mu} = -R_{\nu\rho}$ , dà $-R_{\nu\rho;\sigma}$ :

R_{\nu\sigma;\rho} + R^\mu{}_{\nu\sigma\rho;\mu} - R_{\nu\rho;\sigma} = 0 .

Si moltiplica per $g^{\nu\sigma}$ , che passa dentro le derivate covarianti perché $g^{\nu\sigma}{}_{;\mu} = 0$ . Il primo termine diventa $R_{;\rho}$ e il terzo $-R^\sigma{}_{\rho;\sigma}$ . Nel secondo, $g^{\nu\sigma}R^\mu{}_{\nu\sigma\rho} = g^{\mu\kappa}g^{\nu\sigma}R_{\kappa\nu\sigma\rho}$ ; per la simmetria $R_{\kappa\nu\sigma\rho} = R_{\sigma\rho\kappa\nu}$ si ha $g^{\nu\sigma}R_{\sigma\rho\kappa\nu} = R^\nu{}_{\rho\kappa\nu} = -R_{\rho\kappa}$ , e il termine vale $-R^\mu{}_{\rho;\mu}$ . Quindi $R_{;\rho} - 2R^\mu{}_{\rho;\mu} = 0$ , che è la prima uguaglianza con $\rho$ al posto di $\nu$ . La seconda segue perché $(\delta^\mu_\nu R)_{;\mu} = R_{;\nu}$ .

Fine della dimostrazione.

Definizione (tensore di Einstein)

G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac12\,g_{\mu\nu}R .

È simmetrico, perché lo sono $R_{\mu\nu}$ e $g_{\mu\nu}$ , e per il teorema ha divergenza nulla qualunque sia il tensore metrico: $G^{\mu\nu}{}_{;\nu} = 0$ . Il risultato si può rafforzare. Per un teorema di David Lovelock (1971), in quattro dimensioni gli unici tensori simmetrici con divergenza identicamente nulla costruiti con il tensore metrico e le sue derivate prime e seconde sono le combinazioni $a\,G_{\mu\nu} + b\,g_{\mu\nu}$ , con $a$ e $b$ costanti. La dimostrazione va oltre questo articolo; dice che la scelta di Einstein è, in un senso preciso, l’unica possibile.

Le equazioni di campo

Le equazioni sono dunque $G_{\mu\nu} = \kappa\,T_{\mu\nu}$ , con una costante $\kappa$ da determinare. Conviene prima riscriverle in un’altra forma.

Proposizione (forma con la traccia)

Con $T = g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$ , le equazioni $G_{\mu\nu} = \kappa\,T_{\mu\nu}$ equivalgono a

R_{\mu\nu} = \kappa\left(T_{\mu\nu} - \frac12\,g_{\mu\nu}T\right).

In particolare nel vuoto, dove $T_{\mu\nu} = 0$ , equivalgono a $R_{\mu\nu} = 0$ .

Dimostrazione.

Moltiplicando $R_{\mu\nu} - \tfrac12 g_{\mu\nu}R = \kappa T_{\mu\nu}$ per $g^{\mu\nu}$ , con $g^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = \delta^\mu_\mu = 4$ , si ha $R - 2R = \kappa T$ , cioè $R = -\kappa T$ . Sostituendo, $R_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} + \tfrac12 g_{\mu\nu}R = \kappa(T_{\mu\nu} - \tfrac12 g_{\mu\nu}T)$ . Il passaggio inverso è lo stesso calcolo letto al contrario: dalla forma con la traccia si ricava $R = -\kappa T$ , e sostituendo si torna alla prima.

Fine della dimostrazione.

La costante si fissa chiedendo che le equazioni ridiano la gravità di Newton quando il campo è debole e statico e la materia è lenta, con pressioni trascurabili rispetto a $\rho c^2$ .

Teorema (la costante di accoppiamento)

Nel limite newtoniano le equazioni $G_{\mu\nu} = \kappa\,T_{\mu\nu}$ si riducono all’equazione di Poisson $\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho$ se e solo se

\kappa = \frac{8\pi G}{c^4} .

Dimostrazione.

La materia è una polvere ferma, con $T^{\mu\nu} = \rho c^2u^\mu u^\nu$ e $u^\mu = (u^0, 0, 0, 0)$ , dove $g_{00}(u^0)^2 = 1$ . Allora $T = g_{00}T^{00} = \rho c^2$ e $T_{00} = g_{00}g_{00}T^{00} = g_{00}\rho c^2$ . La componente $00$ della forma con la traccia è

R_{00} = \kappa\left(g_{00}\rho c^2 - \frac12\,g_{00}\rho c^2\right) = \frac{\kappa}{2}\,g_{00}\,\rho c^2 = \frac{\kappa}{2}\,\rho c^2

all’ordine più basso, con $g_{00} = 1 + 2\Phi/c^2$ . Nell’articolo sul tensore energia-impulso si è dimostrato che nello stesso limite $R_{00} = \nabla^2\Phi/c^2$ . L’uguaglianza $\nabla^2\Phi/c^2 = \kappa\rho c^2/2$ coincide con $\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho$ esattamente quando $\kappa c^4/2 = 4\pi G$ .

Fine della dimostrazione.

Le equazioni di Einstein sono quindi

R_{\mu\nu} - \frac12\,g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu} .

Einstein le presentò all’Accademia prussiana delle scienze il 25 novembre 1915, dopo tentativi durati anni; negli stessi giorni David Hilbert arrivò alle stesse equazioni partendo da un principio variazionale. Le componenti spaziali delle equazioni, nello stesso limite, fissano anche $g_{ij} = -(1 - 2\Phi/c^2)\,\delta_{ij}$ ; il calcolo richiede le equazioni linearizzate ed è nell’articolo sulle onde gravitazionali.

Che cosa dicono le equazioni

Sono dieci equazioni, perché i tensori simmetrici in quattro dimensioni hanno dieci componenti indipendenti. Sono equazioni alle derivate parziali del secondo ordine nel tensore metrico, e non lineari, perché i simboli di Christoffel dipendono da $g$ e il tensore di Riemann contiene i loro prodotti. Non sono però dieci condizioni indipendenti: le quattro identità di Bianchi contratte le legano, e ne restano sei. È quello che serve, perché quattro delle dieci funzioni $g_{\mu\nu}$ si possono cambiare a piacere cambiando le quattro coordinate.

Le equazioni contengono anche la legge del moto della materia. Da $G^{\mu\nu}{}_{;\nu} = 0$ segue $T^{\mu\nu}{}_{;\nu} = 0$ , e per una polvere questo equivale, come nell’articolo sul tensore energia-impulso, al moto lungo le geodetiche. John Wheeler lo riassumeva così: la materia dice allo spaziotempo come curvarsi, lo spaziotempo dice alla materia come muoversi.

Nel vuoto $R_{\mu\nu} = 0$ , ma il tensore di Riemann in generale no. In due dimensioni il tensore di Ricci determinava tutta la curvatura; in quattro no, e fuori da una stella lo spaziotempo è curvo: ci sono le accelerazioni di marea, e possono propagarsi onde. La forma newtoniana di questo fatto è semplice.

Proposizione (le maree nel vuoto conservano il volume)

Nel sistema in caduta libera con un punto $O$ , l’accelerazione di marea di una particella vicina, in posizione $x^j$ rispetto a $O$ , è al primo ordine $a_i = -(\partial_i\partial_j\Phi)\,x^j$ , e la sua divergenza è $-\nabla^2\Phi = -4\pi G\rho$ . Nel vuoto è nulla.

Dimostrazione.

Come nell’articolo sul principio di equivalenza, l’accelerazione relativa è $\mathbf g(\mathbf x) - \mathbf g(0)$ con $\mathbf g = -\nabla\Phi$ ; lo sviluppo al primo ordine dà $-(\partial_i\partial_j\Phi)(0)\,x^j$ . La divergenza rispetto a $x^i$ è $-\sum_i\partial_i\partial_i\Phi = -\nabla^2\Phi$ , e per l’equazione di Poisson vale $-4\pi G\rho$ .

Fine della dimostrazione.

Le accelerazioni di marea su una nuvola di particelle in caduta libera nel campo della massa $M$ , come nell’articolo sul principio di equivalenza. Nello spazio, con $x$ lungo la direzione di $M$ , l’accelerazione è proporzionale a $(2x, -y, -z)$ : la somma dei coefficienti è nulla, e una piccola nuvola sferica si allunga in una direzione e si schiaccia nelle altre due senza cambiare volume. È la forma newtoniana di $R_{00} = 0$ nel vuoto: la curvatura c’è, ma deforma senza comprimere.

La costante cosmologica

Il tensore metrico ha divergenza covariante nulla, quindi $G_{\mu\nu} - \Lambda g_{\mu\nu}$ , con $\Lambda$ costante, soddisfa lo stesso vincolo di $G_{\mu\nu}$ . Le equazioni più generali compatibili con il teorema di Lovelock sono

R_{\mu\nu} - \frac12\,g_{\mu\nu}R - \Lambda\,g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu} ,

e $\Lambda$ è la costante cosmologica. Einstein la introdusse nel 1917 per ottenere un universo statico, e la tolse nel 1931, quando l’espansione dell’universo era ormai accettata. Nel 1998 le osservazioni di supernove lontane hanno mostrato che l’espansione accelera, e $\Lambda$ è tornata, con un valore di circa $1{,}1 \times 10^{-52}$ m⁻².

Il segno dipende dalle convenzioni. Con la segnatura $(+,-,-,-)$ del sito e le definizioni di questo percorso, un $\Lambda$ positivo, quello che produce accelerazione, compare a sinistra con il segno meno; con altre convenzioni lo si trova scritto con il più. Lo si vede portandolo a destra: $G_{\mu\nu} = \kappa\,(T_{\mu\nu} + \rho_\Lambda c^2g_{\mu\nu})$ con $\rho_\Lambda = \Lambda c^2/(8\pi G)$ . Il termine aggiunto è il tensore energia-impulso di un fluido perfetto con densità $\rho_\Lambda$ e pressione $p = -\rho_\Lambda c^2$ : un’energia del vuoto, positiva, con una pressione negativa.

Proposizione (limite newtoniano con la costante cosmologica)

Nel limite newtoniano le equazioni con la costante cosmologica danno

\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho - \Lambda c^2 .

Dimostrazione.

Moltiplicando per $g^{\mu\nu}$ , $-R - 4\Lambda = \kappa T$ . Quindi $R_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} + \tfrac12 g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa(T_{\mu\nu} - \tfrac12 g_{\mu\nu}T) - \Lambda g_{\mu\nu}$ . La componente $00$ , come nel teorema sulla costante di accoppiamento, dà $\nabla^2\Phi/c^2 = 4\pi G\rho/c^2 - \Lambda$ all’ordine più basso.

Fine della dimostrazione.

Il termine $-\Lambda c^2$ agisce come una densità di massa negativa uniforme: una repulsione che cresce con la distanza, trascurabile nel sistema solare e dominante sulla scala dell’universo.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. L’11 novembre 1915 Einstein propose le equazioni $R_{\mu\nu} = \kappa\,T_{\mu\nu}$ . Mostra che, insieme alla conservazione $T^{\mu\nu}{}_{;\nu} = 0$ , impongono che la traccia $T$ sia la stessa in tutto lo spaziotempo.

Per l’identità di Bianchi contratta $R^\mu{}_{\nu;\mu} = \tfrac12 R_{;\nu}$ . Se $R^\mu{}_\nu = \kappa T^\mu{}_\nu$ , il primo membro è $\kappa T^\mu{}_{\nu;\mu} = 0$ , quindi $R_{;\nu} = 0$ e $R$ è costante. Ma $R = \kappa T$ , e anche $T$ è costante.

Commento: per una polvere $T = \rho_0c^2$ , e la densità della materia dovrebbe essere la stessa ovunque, anche fuori dal Sole. È un vincolo assurdo, e il termine $-\tfrac12 g_{\mu\nu}R$ è esattamente quello che lo toglie. Einstein aggiunse il termine con la traccia due settimane dopo.

Esercizio 2. Con $\Lambda = 1{,}1 \times 10^{-52}$ m⁻², calcola la densità di energia del vuoto $\rho_\Lambda$ e la densità di materia per cui, nel limite newtoniano, l’attrazione e la repulsione cosmologica si bilanciano. Usa $G = 6{,}674 \times 10^{-11}$ m³/(kg s²).

$\Lambda c^2 = 1{,}1 \times 10^{-52} \cdot 8{,}99 \times 10^{16}$ s⁻² $\approx 9{,}9 \times 10^{-36}$ s⁻². $\rho_\Lambda = \Lambda c^2/(8\pi G) \approx 9{,}9 \times 10^{-36}/(1{,}68 \times 10^{-9})$ kg/m³ $\approx 5{,}9 \times 10^{-27}$ kg/m³, cioè una densità di energia $\rho_\Lambda c^2 \approx 5{,}3 \times 10^{-10}$ J/m³. Il bilancio $4\pi G\rho = \Lambda c^2$ richiede $\rho = 2\rho_\Lambda \approx 1{,}2 \times 10^{-26}$ kg/m³, circa sette atomi di idrogeno per metro cubo.

Commento: la densità media di materia dell’universo oggi è circa cinque volte più bassa, ed è anche per questo che $\Lambda$ domina l’espansione attuale. Attenzione alle unità: $\rho_\Lambda$ in kg/m³ e la densità di energia in J/m³ differiscono di un fattore $c^2$ , e scambiarle sposta il risultato di diciassette ordini di grandezza.

Esercizio 3. Stima quanto è grande $\kappa = 8\pi G/c^4$ e che raggio di curvatura produce una regione con la densità dell’acqua.

$\kappa = 8\pi \cdot 6{,}674 \times 10^{-11}/(2{,}998 \times 10^8)^4 \approx 2{,}08 \times 10^{-43}$ m/J. Il tensore di Ricci ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza al quadrato; con $\rho = 1000$ kg/m³ si ha $\kappa\rho c^2 \approx 2{,}08 \times 10^{-43} \cdot 9{,}0 \times 10^{19}$ m⁻² $\approx 1{,}9 \times 10^{-23}$ m⁻², e una lunghezza caratteristica $(\kappa\rho c^2)^{-1/2} \approx 2{,}3 \times 10^{11}$ m, circa una volta e mezza la distanza Terra-Sole.

Commento: lo spaziotempo è rigidissimo. Per curvarlo in modo apprezzabile su un metro servirebbe una densità di energia di $10^{43}$ J/m³. La gravità ci sembra forte perché le masse in gioco sono enormi, non perché la geometria ceda facilmente.

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