L'elettromagnetismo in forma covariante

Una teoria già relativistica

La meccanica di Newton ha dovuto essere riscritta per rispettare i postulati di Einstein. L’elettromagnetismo no: le equazioni di Maxwell non mantengono la loro forma con le trasformazioni di Galileo, ma la mantengono con quelle di Lorentz, ed è da loro che viene la velocità della luce uguale per tutti. Quello che manca è una scrittura che renda la covarianza evidente, con quadrivettori e tensori al posto di campi elettrici e magnetici separati. Questo articolo la costruisce.

Come nel corso di fisica teorica di Landau e Lifshitz, qui si usano le unità gaussiane, in cui campo elettrico e campo magnetico hanno le stesse dimensioni e la legge di Coulomb è $F = q_1q_2/r^2$. Le equazioni di Maxwell nel vuoto, con densità di carica $\rho$ e densità di corrente $\mathbf j$, sono

$$\nabla\cdot\mathbf E = 4\pi\rho, \qquad \nabla\cdot\mathbf B = 0, \qquad \nabla\times\mathbf E = -\frac1c\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf B = \frac{4\pi}{c}\,\mathbf j + \frac1c\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.$$

La seconda e la terza contengono solo i campi e si dicono omogenee; la prima e la quarta contengono le sorgenti e si dicono non omogenee. Nel Sistema Internazionale le formule covarianti di questo articolo restano uguali con tre sostituzioni: $F^{0i} = -E^i/c$ invece di $-E^i$, il potenziale scalare diviso per $c$ nella componente temporale del quadripotenziale, e $\mu_0$ al posto di $4\pi/c$ davanti alla quadricorrente.

Potenziali e invarianza di gauge

Poiché $\nabla\cdot\mathbf B = 0$, il campo magnetico si può scrivere come rotore di un campo vettoriale, il potenziale vettore $\mathbf A$: $\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$. Sostituendo nella legge di Faraday, $\nabla\times(\mathbf E + \tfrac1c\,\partial\mathbf A/\partial t) = 0$, e un campo con rotore nullo è il gradiente di una funzione, il potenziale scalare $\Phi$:

$$\mathbf B = \nabla\times\mathbf A, \qquad \mathbf E = -\nabla\Phi - \frac1c\frac{\partial\mathbf A}{\partial t}.$$

Che un campo a divergenza nulla sia un rotore, e che un campo a rotore nullo sia un gradiente, sono teoremi dell’analisi vettoriale validi in tutto lo spazio o in regioni senza buchi, e qui si danno per noti. Con i potenziali le due equazioni omogenee sono soddisfatte automaticamente.

La libertà di scelta si usa per semplificare le equazioni. Una scelta comoda è il gauge di Lorenz, dal fisico danese Ludvig Lorenz, da non confondere con l’olandese Hendrik Lorentz delle trasformazioni:

$$\frac1c\frac{\partial\Phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf A = 0 .$$

Il gauge di Lorenz si può sempre raggiungere: partendo da potenziali qualsiasi, basta scegliere $\psi$ come soluzione di un’equazione delle onde con sorgente, che ha sempre soluzioni. Le due equazioni hanno a sinistra lo stesso operatore, il dalembertiano $\Box = \tfrac{1}{c^2}\partial_t^2 - \nabla^2$, applicato alle quattro funzioni $(\Phi, \mathbf A)$, e a destra le quattro funzioni $(4\pi/c)(c\rho, \mathbf j)$. È il primo indizio della struttura quadrivettoriale.

La quadricorrente

Il termine $\tfrac1c\,\partial_t\mathbf E$ nella legge di Ampère, la corrente di spostamento, fu aggiunto da Maxwell proprio perché senza di esso le equazioni sarebbero state incompatibili con la conservazione della carica.

Con la quadridivergenza dell’articolo sui quadrivettori, l’equazione di continuità si scrive $\partial_\mu J^\mu = 0$: uno scalare nullo, quindi nullo per tutti gli osservatori. La carica si conserva in ogni sistema inerziale.

Il quadripotenziale

Le equazioni nel gauge di Lorenz applicano un operatore invariante a $(\Phi, \mathbf A)$ e danno un quadrivettore. La scelta naturale, confermata da tutte le conseguenze, è che anche i potenziali formino un quadrivettore.

Con il quadripotenziale la condizione di Lorenz è $\partial_\mu A^\mu = \tfrac1c\,\partial_t\Phi + \nabla\cdot\mathbf A = 0$, uno scalare di Lorentz: se vale per un osservatore vale per tutti. Le equazioni non omogenee diventano una sola equazione quadrivettoriale,

$$\Box A^\mu = \frac{4\pi}{c}\,J^\mu .$$

La trasformazione di gauge si scrive $A^\mu \to A^\mu - \partial^\mu\psi$: infatti $-\partial^0\psi = -\tfrac1c\partial_t\psi$ corregge $\Phi$, e $-\partial^i\psi = +\partial_i\psi$ corregge $\mathbf A$.

Il tensore elettromagnetico

I campi, non i potenziali, sono ciò che agisce sulle cariche, e vanno collegati alle grandezze covarianti. Il posto del rotore, che in quattro dimensioni non ha un analogo vettoriale, lo prende un tensore antisimmetrico.

$F^{\mu\nu}$ è un tensore, perché $\partial^\mu$ e $A^\nu$ si trasformano come quadrivettori, ed è antisimmetrico, $F^{\nu\mu} = -F^{\mu\nu}$: ha zeri sulla diagonale e sei componenti indipendenti. Non cambia per una trasformazione di gauge, perché $A^\mu \to A^\mu - \partial^\mu\psi$ lo modifica di $-\partial^\mu\partial^\nu\psi + \partial^\nu\partial^\mu\psi = 0$.

Campo elettrico e campo magnetico non sono due vettori, ma due parti dello stesso tensore. Abbassando entrambi gli indici le componenti con un solo indice $0$ cambiano segno e le altre no: in $F_{\mu\nu}$ la prima riga è $(0, E_x, E_y, E_z)$ e il blocco spaziale è lo stesso.

Le componenti lungo il moto non cambiano, quelle trasversali si mescolano. Una carica ferma in $K$ ha solo campo elettrico; per un osservatore in moto compare anche un campo magnetico, esattamente come richiesto dalle formule. L’asimmetria della spira e del magnete, da cui partì Einstein, sparisce: le due spiegazioni sono la stessa descrizione vista in due sistemi.

Da qui seguono fatti che non dipendono da chi osserva. Se $\mathbf E\cdot\mathbf B \neq 0$, in nessun sistema uno dei due campi è nullo. Se $\mathbf E\cdot\mathbf B = 0$ e $E < B$, esiste un sistema in cui il campo elettrico è nullo; se $E > B$, uno in cui è nullo quello magnetico, come nell’esercizio 2. In tutte e due le affermazioni la condizione $\mathbf E\cdot\mathbf B = 0$ è necessaria.

Le equazioni di Maxwell in forma covariante

Le quattro equazioni di Maxwell sono diventate due, e la conservazione della carica è scritta nella loro struttura. Questa è una riscrittura, non una derivazione: le equazioni restano quelle scoperte con gli esperimenti. Una derivazione da un principio più generale richiede la lagrangiana del campo.

La carica nel campo e la forza di Lorentz

Nella formulazione lagrangiana una particella carica in un campo elettromagnetico ha tre contributi: la lagrangiana della particella libera, già nota, quella dell’interazione con il campo e quella del campo stesso. Se il campo è assegnato, prodotto da cariche lontane su cui la particella non influisce, bastano i primi due.

La lagrangiana di interazione è la parte temporale di un’espressione covariante: $-q\Phi + \tfrac qc\mathbf A\cdot\mathbf v = -\tfrac qc A_\mu\,dx^\mu/dt$, e l’azione della particella nel campo è

$$S = -mc\int ds - \frac qc\int A_\mu\,dx^\mu .$$

Anche il secondo integrale è uno scalare di Lorentz. Una trasformazione di gauge $A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu\psi$ gli aggiunge $\tfrac qc\int\partial_\mu\psi\,dx^\mu = \tfrac qc\,[\psi(B) - \psi(A)]$, un numero che dipende solo dagli estremi: è l’invarianza di gauge dell’articolo sul principio di minima azione, applicata al campo elettromagnetico. L’equazione del moto si scrive in forma covariante come

$$mc\,\frac{du^\mu}{ds} = \frac qc\,F^{\mu\nu}u_\nu ,$$

e le sue componenti spaziali sono quelle del teorema, mentre la componente temporale dà $dE/dt = q\,\mathbf E\cdot\mathbf v$, il lavoro del campo elettrico: si verifica sostituendo $u^\mu = (\gamma, \gamma\mathbf v/c)$ e le componenti di $F^{\mu\nu}$, con $F^{\mu\nu}u_\nu = \gamma\,(\mathbf E\cdot\mathbf v/c,\ \mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B/c)$.

Per descrivere anche il campo serve la sua lagrangiana, che non si ricava da principi generali ma si sceglie perché riproduca le equazioni di Maxwell:

$$L_{\text{campo}} = \frac{1}{8\pi}\int\left(E^2 - B^2\right)dV = -\frac{1}{16\pi}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\,dV .$$

Contiene l’invariante $E^2 - B^2$, e le sue equazioni di Eulero-Lagrange, insieme al termine di interazione, sono le equazioni di Maxwell non omogenee. La dimostrazione richiede la formulazione lagrangiana dei campi, con derivate rispetto a funzioni di quattro variabili, e la si trova nel secondo volume del corso di Landau e Lifshitz.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Una carica $q$ si muove con velocità $\mathbf v = v\,\hat{\mathbf x}$. Nell’istante in cui passa per l’origine, calcola i campi nel punto $(0, b, 0)$ usando il campo di Coulomb nel sistema di quiete della carica.

Nel sistema $K'$ in cui la carica è ferma, nell’istante considerato il punto ha coordinate $(0, b, 0)$, perché le distanze perpendicolari al moto non cambiano, e i campi sono $\mathbf E' = (0, q/b^2, 0)$, $\mathbf B' = 0$. Per tornare al laboratorio $K$, che si muove rispetto a $K'$ con velocità $-v$, si usano le formule con $-\beta$:

$$E_y = \gamma\,(E'_y + \beta B'_z) = \gamma\,\frac{q}{b^2}, \qquad B_z = \gamma\,(B'_z + \beta E'_y) = \gamma\beta\,\frac{q}{b^2}, \qquad E_x = B_x = 0 .$$

Il campo magnetico vale $B_z = \beta E_y$, cioè $\mathbf B = \tfrac{\mathbf v}{c}\times\mathbf E$.

Commento: il campo elettrico perpendicolare al moto è $\gamma$ volte quello di Coulomb, mentre lungo la direzione del moto, come si può verificare con lo stesso metodo, è $\gamma^2$ volte più piccolo. A velocità vicine a $c$ il campo di una carica si schiaccia in un disco perpendicolare al moto. Per $\beta \ll 1$ si ritrova il campo magnetico di una carica in moto lenta della legge di Biot e Savart, $\mathbf B = q\,\mathbf v\times\mathbf r/(cr^3)$ in unità gaussiane.

Esercizio 2. In una regione ci sono un campo elettrico $\mathbf E = (0, 3, 0)$ e un campo magnetico $\mathbf B = (0, 0, 5)$, in unità gaussiane arbitrarie. Esiste un sistema in cui il campo elettrico è nullo? Che campo magnetico si misura lì?

$\mathbf E\cdot\mathbf B = 0$ ed $E^2 - B^2 = 9 - 25 = -16 < 0$: esiste un sistema senza campo elettrico. Con la trasformazione lungo $x$, $E'_y = \gamma(E_y - \beta B_z) = 0$ richiede $\beta = E_y/B_z = 0{,}6$. Allora $\gamma = 1{,}25$ e $B'_z = \gamma(B_z - \beta E_y) = 1{,}25\,(5 - 1{,}8) = 4$. Verifica: $E'^2 - B'^2 = -16$.

Commento: nel sistema che si muove a $0{,}6\,c$ lungo $\mathbf E\times\mathbf B$ c’è solo un campo magnetico, e una carica lì compie un moto circolare. Visto dal laboratorio, quel moto circolare trasla con velocità $c\,E/B$ perpendicolare a entrambi i campi: è la deriva $\mathbf E\times\mathbf B$ delle particelle cariche nei plasmi. Con $E > B$ la deriva supererebbe $c$, e infatti in quel caso il sistema adatto è quello in cui si annulla il campo magnetico.

Esercizio 3. Un filo rettilineo è elettricamente neutro nel laboratorio: gli ioni positivi sono fermi con densità $\rho_0$, gli elettroni di conduzione si muovono lungo il filo con velocità $v$ e densità $-\rho_0$. Qual è la densità di carica del filo nel sistema in cui gli elettroni sono fermi?

Si trasforma la quadricorrente di ciascuna specie con la trasformazione lungo il filo con velocità $v$, $c\rho' = \gamma(c\rho - \beta j_x)$. Per gli ioni, $J^\mu = (c\rho_0, 0)$, quindi $\rho'_+ = \gamma\rho_0$. Per gli elettroni, $J^\mu = (-c\rho_0, -\rho_0 v)$, quindi

$$c\rho'_- = \gamma\,(-c\rho_0 + \beta\rho_0 v) = -\gamma c\rho_0\,(1 - \beta^2) = -\frac{c\rho_0}{\gamma}.$$

La densità totale è $\rho' = \rho_0\,(\gamma - 1/\gamma) = \gamma\beta^2\rho_0$, positiva.

Commento: nel laboratorio una carica ferma vicino al filo non sente forze, e una carica che si muove insieme agli elettroni sente la forza magnetica della corrente. Nel sistema degli elettroni quella stessa carica è ferma, quindi non sente forze magnetiche: sente invece la forza elettrica del filo, che lì è carico. È la stessa forza descritta in due sistemi, e la magnetostatica si rivela un effetto relativistico dell’elettrostatica. Il fattore $\beta^2$, con velocità di deriva degli elettroni di frazioni di millimetro al secondo, è minuscolo, ma è moltiplicato per la densità di carica enorme degli elettroni di conduzione, e per questo le forze magnetiche tra fili percorsi da corrente si misurano facilmente.