Filtri a tempo discreto

Filtrare con i numeri

I filtri degli articoli precedenti sono fatti di resistori, condensatori e interruttori, e la loro funzione peso è quella che il circuito sa produrre: un’esponenziale, un rettangolo, un’esponenziale a pezzi. Un convertitore analogico-digitale e un po’ di calcolo permettono di sceglierla: si prendono $N$ campioni del segnale, distanti $t_s$, e si combina

$$y = \sum_{k=0}^{N-1} w_k\,x(t_k) ,$$

con i pesi $w_k$ che si vogliono. Cambiare filtro vuol dire cambiare numeri, e si possono realizzare pesi che nessun circuito produrrebbe — negativi, asimmetrici, diversi da misura a misura.

Nel linguaggio dell’articolo precedente un campionamento ideale è un filtro tempo-variante con funzione peso fatta di impulsi:

$$w(t, \tau) = \sum_{k=0}^{N-1} w_k\,\delta\big(\tau - (t - kt_s)\big) ,$$

perché l’uscita di un campionatore che legge l’istante $t_k$ è $\int x(\tau)\,\delta(\tau - t_k)\,d\tau = x(t_k)$. Qui il campionamento è considerato istantaneo e la conversione esatta: il tempo di apertura del campionatore e la quantizzazione del convertitore sono un altro discorso.

La media pesata e i suoi limiti

È la versione discreta del risultato dell’articolo sul filtro passa-basso: per un segnale costante in rumore bianco la media uniforme è la migliore. La normalizzazione $\sum w_k = 1$ serve perché l’uscita valga $A$; se interessa solo il rapporto segnale-rumore, i pesi contano a meno di una costante.

Il confronto con i filtri continui, però, non è a favore del campionatore. Un integratore a finestra che integra per lo stesso tempo di misura $T_M = Nt_s$ migliora il rapporto segnale-rumore di $\sqrt{T_M/\tau_0}$, con $\tau_0$ il tempo di correlazione del rumore, mentre la media uniforme dà $\sqrt N = \sqrt{T_M/t_s}$. Poiché i campioni si prendono distanti almeno $\tau_0$, perché siano incorrelati, il campionatore perde sempre: guarda il segnale solo negli istanti di campionamento e butta via tutto il resto. La differenza è il rapporto $\sqrt{t_s/\tau_0}$.

Rumore correlato, repliche e aliasing

Se il rumore è correlato su tempi più lunghi del passo, i prodotti misti non sono più nulli, e il conto si fa con l’autocorrelazione della funzione peso.

Con un rumore poco correlato sopravvive solo il termine centrale, $R_{xx}(0)/N = \sigma_x^2/N$, e si ritrova il $\sqrt N$. Se invece il rumore è correlato su più passi, i termini con $n \ne 0$ sono positivi e si aggiungono: la media cancella meno rumore, perché i campioni si somigliano tra loro.

Nel dominio delle frequenze lo stesso fatto prende la forma dell’aliasing. La funzione peso della media uniforme è un rettangolo lungo $T_M$ moltiplicato per un pettine di impulsi distanti $t_s$; la sua trasformata è quindi la convoluzione di un seno cardinale largo $1/T_M$ con un pettine di impulsi distanti $1/t_s$, cioè una replica del seno cardinale attorno a ogni multiplo della frequenza di campionamento:

$$|W(t, f)|^2 = \sum_k \text{sinc}^2\!\left[T_M\left(f - \frac{k}{t_s}\right)\right] .$$

Il rumore all’uscita è $\int S_x(f)\,|W|^2df$: ogni replica pesca la densità spettrale attorno alla sua frequenza, e tutto quello che sta sopra $1/2t_s$ rientra nella misura come se fosse a bassa frequenza. Per un rumore bianco fino a $f_n \gg 1/2t_s$ le repliche sono tante, e si ritrova la varianza $\sigma_x^2/N$ con $\sigma_x^2$ grande. La cura è un filtro anti-aliasing prima del campionatore, che tagli sopra la metà della frequenza di campionamento.

Il filtro anti-aliasing migliore, per questo scopo, è quello che media l’ingresso su tutto l’intervallo tra un campione e l’altro invece di guardarlo in un istante: è l’integrate and dump, cioè un integratore a finestra lungo $t_s$ che si azzera a ogni campione. Allora i campioni sono le medie di finestre contigue, ognuna con varianza $S/2t_s$, e sono incorrelati per un rumore bianco; la loro media uniforme ha varianza $S/2Nt_s = S/2T_M$, esattamente quella dell’integratore a finestra lungo tutto il tempo di misura. Con questo accorgimento il filtro numerico raggiunge il continuo, e non lo perde più: è il motivo per cui i convertitori a integrazione e i modulatori sigma-delta con decimazione campionano una media, non un istante.

Pesi qualsiasi

Con i pesi liberi si imita qualunque filtro continuo, e se ne costruiscono altri. Il caso più usato è quello dei pesi in progressione geometrica, $w_k \propto \alpha^k$: è la media esponenziale, il filtro che un microcontrollore realizza con una riga, $y \leftarrow y + (x - y)(1 - \alpha)$, senza tenere in memoria i campioni passati.

Con la forma ricorsiva $y \leftarrow y + (x - y)/M$ si ha $\alpha = 1 - 1/M$ e $N_{eq} = 2M - 1$: mediare con $M = 16$ equivale a mediare una trentina di campioni, e il filtro impiega circa $5M$ campioni ad arrivare a regime. È lo stesso conto del boxcar averager dell’articolo precedente, che infatti si può leggere come la cascata di due filtri: un integratore a finestra che misura il singolo impulso e una media esponenziale con $\alpha = e^{-T_C/T_F}$ sui risultati, con $N_{eq} = (1 + \alpha)/(1 - \alpha) \simeq 2T_F/T_C$.

I pesi negativi, che nessun filtro RC può dare, aprono un’altra strada. Il filtro più semplice che li usa è la differenza di due campioni, $y = x(t) - x(t - t_s)$: per un rumore bianco è un disastro, perché le due varianze si sommano, ma per un rumore correlato su tempi lunghi rispetto a $t_s$ è il modo di cancellare quasi tutto.

È il principio del doppio campionamento correlato, che si usa nei sensori di immagine e nei convertitori per togliere l’offset e il rumore lento: si campiona due volte a breve distanza, una con il segnale e una senza, e si sottrae. Il prezzo è il rumore bianco raddoppiato, il guadagno è la scomparsa di tutto ciò che varia lentamente. Il prossimo articolo riprende il filo dalla parte opposta — quali pesi sono i migliori, dato il segnale e dato il rumore — e quello dopo torna sul rumore a bassa frequenza.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un rumore ha tempo di correlazione $\tau_0 = 10$ ns. Si misura un segnale costante per $1$ μs, campionando ogni $20$ ns e mediando. Quanto migliora il rapporto segnale-rumore? E un integratore a finestra sullo stesso tempo?

Soluzione. I campioni sono $N = 1\ \mu\text{s}/20\ \text{ns} = 50$, incorrelati perché $t_s > \tau_0$, e il miglioramento è $\sqrt{50} = 7{,}1$. L’integratore a finestra dà $\sqrt{T_M/\tau_0} = \sqrt{100} = 10$.

Commento. Il rapporto tra i due è $\sqrt{t_s/\tau_0} = \sqrt2$: campionando ogni due tempi di correlazione si guarda il segnale per metà del tempo. Campionare più fitto non aiuta, perché i campioni diventano correlati e il guadagno smette di crescere come $\sqrt N$; l’unico modo di recuperare è mediare l’ingresso tra un campione e l’altro invece di guardarlo in un istante.

Esercizio 2. Un impulso $A\,e^{-t/\tau}$ con $\tau = 1$ μs arriva in un rumore quasi bianco con densità unilatera $S = 4\times10^{-16}$ V²/Hz e tempo di correlazione $10$ ns. Si campiona ogni $t_s = 10$ ns. Quale ampiezza minima si misura, con rapporto segnale-rumore $1$, con una media uniforme sui primi $5\tau$? E con i pesi migliori?

Soluzione. Il rumore di un campione è $\sigma_x = \sqrt{S/2\tau_0} = \sqrt{4\times10^{-16}/2\times10^{-8}} = 141$ μV: un campione solo misura solo ampiezze sopra $141$ μV. Con $N = 5\tau/t_s = 500$ campioni uniformi, il segnale medio è

$$\frac{A}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{-kt_s/\tau} \simeq \frac{A}{N}\,\frac{1 - e^{-5}}{1 - e^{-t_s/\tau}} = 0{,}199\,A ,$$

e il rumore è $141\ \mu\text{V}/\sqrt{500} = 6{,}3$ μV: serve $A_{min} = 32$ μV. Con i pesi proporzionali al segnale, $w_k \propto e^{-kt_s/\tau}$, il rapporto segnale-rumore diventa $(A/\sigma_x)\sqrt{\sum_k e^{-2kt_s/\tau}} = (A/\sigma_x)\sqrt{\tau/2t_s} = 7{,}07\,A/\sigma_x$, cioè $A_{min} = 20$ μV.

Commento. La media uniforme su $5\tau$ spreca la coda, dove il segnale è quasi finito ma il rumore no; mediando solo sul primo $\tau$ si arriverebbe a $22$ μV, già quasi quanto i pesi ottimi. È un fatto generale: un peso che assomiglia grossolanamente alla forma del segnale prende quasi tutto il guadagno possibile.

Esercizio 3. Si misura un segnale con una media esponenziale in un microcontrollore, $y \leftarrow y + (x - y)/M$ a ogni campione. Quanti campioni equivalenti si mediano con $M = 4$, $16$, $64$? Quanto tempo serve per arrivare a regime?

Soluzione. Il peso del campione $k$-esimo all’indietro è $(1/M)(1 - 1/M)^k$, cioè $\alpha = 1 - 1/M$, e $N_{eq} = (1 + \alpha)/(1 - \alpha) = 2M - 1$: $7$, $31$ e $127$ campioni, con miglioramenti di $2{,}6$, $5{,}6$ e $11{,}3$. Il regime si raggiunge dopo circa cinque costanti di tempo, cioè $5M$ campioni: $20$, $80$ e $320$.

Commento. Raddoppiare $M$ migliora il rumore di $\sqrt2$ e raddoppia il tempo di risposta: la solita legge della radice del tempo. La forma ricorsiva costa una moltiplicazione e nessuna memoria, ed è per questo che si trova in quasi tutti i firmware che leggono un sensore.

Esercizio 4. Un sensore dà un segnale costante insieme a un rumore lento con autocorrelazione $\sigma_x^2e^{-|\gamma|/\tau_c}$, $\tau_c = 1$ ms, e a un rumore bianco con $\sigma_w = \sigma_x/10$ per campione. Si sottraggono due campioni distanti $t_s$, uno con il segnale e uno senza. Quanto vale il rumore all’uscita per $t_s = 1$ ms e per $t_s = 10$ μs?

Soluzione. I due rumori sono indipendenti e le varianze si sommano. Il bianco dà sempre $2\sigma_w^2 = 0{,}02\,\sigma_x^2$; il lento dà $2\sigma_x^2(1 - e^{-t_s/\tau_c})$, cioè $1{,}26\,\sigma_x^2$ con $t_s = \tau_c$ e $0{,}0199\,\sigma_x^2$ con $t_s = \tau_c/100$. In tutto $1{,}13\,\sigma_x$ nel primo caso e $0{,}20\,\sigma_x$ nel secondo.

Commento. Sottraendo due campioni vicini il rumore lento sparisce quasi del tutto, e resta il bianco raddoppiato: con $t_s = 10$ μs i due contributi si equivalgono, e scendere ancora con $t_s$ non serve più. Il doppio campionamento correlato funziona finché si riesce a prendere i due campioni dentro il tempo di correlazione del disturbo che si vuole togliere.

Esercizio 5. Un rumore bianco con densità unilatera $S$ ha banda $10$ MHz. Si campiona a $100$ kHz e si mediano $1000$ campioni. Quanto vale il rumore all’uscita? E se prima del campionatore si mette un integratore che media su tutto l’intervallo tra un campione e l’altro?

Soluzione. Senza filtro ogni campione porta il rumore in tutta la banda, $\sigma_x^2 = S\cdot10^7$ Hz, e la media di $1000$ campioni incorrelati dà $\sigma_y^2 = S\times10^4$ Hz. Con l’integratore su $t_s = 10$ μs ogni campione è la media di una finestra, con varianza $S/2t_s = S\times5\times10^4$ Hz, cioè duecento volte meno, e la media di $1000$ campioni dà $\sigma_y^2 = S\times50$ Hz $= S/2T_M$ con $T_M = 10$ ms.

Commento. Sono duecento volte in potenza, cioè quattordici in tensione, per un accorgimento che non tocca il segnale: il rapporto tra la banda del rumore e metà della frequenza di campionamento. Il risultato con l’integratore, $S/2T_M$, è quello dell’integratore a finestra lungo tutto il tempo di misura: il filtro numerico, se il campionamento è preceduto dalla media, non perde niente rispetto al continuo.