Il dimensionamento dei cavi

Quanto può scaldarsi un cavo

Un cavo percorso da corrente si scalda per effetto Joule, e il calore esce attraverso l’isolante verso l’aria o il terreno. A regime il cavo si ferma alla temperatura a cui il calore che esce uguaglia quello prodotto. Il limite non lo dà il rame, che regge temperature molto più alte, ma l’isolante: con il caldo le materie plastiche si ossidano e perdono le loro proprietà elettriche e meccaniche, e più alta è la temperatura, più breve è la vita del cavo. Per ogni isolante le norme fissano una temperatura massima di servizio $\theta_s$, che il conduttore non deve superare in funzionamento ordinario: $70$ °C per il PVC, $90$ °C per la gomma etilenpropilenica, l’EPR, e per il polietilene reticolato.

Dimensionare un cavo vuol dire sceglierne la sezione in modo che regga la corrente di servizio senza superare $\theta_s$, che la tensione all’arrivo non scenda troppo e che le protezioni dell’articolo sul cortocircuito lo proteggano davvero. La prima condizione si studia con un modello termico.

Il modello termico

La lunghezza non compare: il problema termico è lo stesso in ogni tratto del cavo, purché le condizioni di posa non cambino. Il modello trascura l’isolante, l’irraggiamento, l’effetto pelle, che in alternata addensa la corrente verso la superficie dei conduttori grossi, e il riscaldamento reciproco dei cavi vicini. Serve a capire da che cosa dipende la portata; i valori da usare nei progetti vengono dalle tabelle delle norme.

Il calore prodotto va come $I^2/S$, quello che esce come la superficie laterale, cioè come $r$, e quindi come $S^{1/2}$: raddoppiare la sezione non raddoppia la portata. Un conduttore grosso è sfruttato peggio di uno sottile, e la densità di corrente ammissibile scende con la sezione. Le tabelle delle norme, costruite sulle misure, danno una crescita ancora più lenta, con un esponente vicino a $0{,}6$.

L’isolante e il raggio critico

Un isolante è un cattivo conduttore di calore, e ci si aspetterebbe che peggiori sempre il raffreddamento. Non è così per i cavi sottili.

Con un isolante termoplastico, $\rho_T \approx 6$ K·m/W, e $h = 15$ W/(m²·K), il raggio critico è di circa $11$ mm, un diametro di $22$ mm: per quasi tutti i cavi di bassa tensione l’isolante aumenta la superficie che scambia calore più di quanto ostacoli il passaggio del calore, e il modello del conduttore nudo è dalla parte della sicurezza.

Il sovraccarico

Un cavo che lavora alla portata è a $\theta_s$. Se la corrente sale a $I > I_z$, la temperatura tende al nuovo valore di regime $\theta_a + (\theta_s - \theta_a)(I/I_z)^2$, perché il salto di temperatura va con il quadrato della corrente, e ci arriva con la costante di tempo termica, che per i cavi di bassa tensione va da qualche minuto a qualche decina di minuti. Un sovraccarico breve non fa danni; uno lungo porta l’isolante a temperature a cui invecchia rapidamente.

Per decidere quanto sovraccarico tollerare le norme partono dalla perdita di vita. Si accetta convenzionalmente che l’insieme dei sovraccarichi riduca la vita del cavo del $10\%$, e che durante la vita ci siano al più un centinaio di sovraccarichi: ciascuno può costare lo $0{,}1\%$ della vita. Dal legame tra temperatura e vita dell’isolante e dal modello termico si ricava, per ogni corrente, il tempo massimo tollerabile, e la protezione deve intervenire prima. È da questo ragionamento che viene la condizione $I_f \le 1{,}45\,I_z$ dell’articolo sul cortocircuito.

Dalla corrente di impiego alla sezione

Il progetto di una linea in bassa tensione segue un procedimento fisso.

La corrente di impiego viene dai carichi. Non tutti gli apparecchi lavorano alla loro potenza nominale, e non tutti insieme: il fattore di utilizzazione $k_u$ riduce la potenza di ciascun carico a quella media di lavoro, il fattore di contemporaneità $k_c$ riduce la somma a quella che si presenta davvero. La potenza della linea è $P = k_c\sum_i k_{u,i}P_i$, e in trifase $I_b = P/(\sqrt3\,V\cos\varphi)$.

L’interruttore si sceglie con $I_n \ge I_b$, tra le taglie commerciali: $6$, $10$, $16$, $20$, $25$, $32$, $40$, $50$, $63$ A per gli apparecchi modulari.

La sezione si sceglie con $I_z \ge I_n$. Le norme danno la portata $I_{z0}$ di ogni sezione per condizioni di riferimento, $30$ °C di aria o $20$ °C di terreno, un solo circuito e un modo di posa definito, e la correggono con dei coefficienti: $k_1$ per la temperatura ambiente, che per i cavi posati in aria segue la formula del teorema, $k_2$ per i circuiti vicini che si scaldano a vicenda, e nei cavi interrati altri due per la profondità e per la resistività termica del terreno. La portata effettiva è $I_z = k_1k_2\,I_{z0}$, e si cerca la sezione più piccola per cui $I_{z0} \ge I_n/(k_1k_2)$.

Le norme per gli impianti raccomandano che la caduta di tensione tra l’origine dell’impianto e ogni apparecchio non superi il $4\%$ della tensione nominale, e molti progettisti si danno limiti più stretti per le singole linee. Nei cavi di bassa tensione di sezione piccola la reattanza, meno di $0{,}1\ \Omega$/km, è trascurabile rispetto alla resistenza, e la caduta di tensione dipende quasi solo dalla sezione e dalla lunghezza: nelle linee lunghe è spesso questa verifica, non la portata, a decidere la sezione.

Le verifiche di cortocircuito sono quelle dell’articolo sul cortocircuito: il potere di interruzione dell’interruttore non minore della corrente di cortocircuito nel punto di installazione, l’energia specifica passante non maggiore di $K^2S^2$, e la corrente di cortocircuito minima, in fondo alla linea, oltre la soglia dello sganciatore magnetico. Anche queste possono chiedere una sezione più grande.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un cavo unipolare di rame da $120$ mm², rivestito da $1{,}2$ mm di isolante termoplastico con $\rho_T = 6$ K·m/W, è percorso da $269$ A in aria a $30$ °C, con $h = 15$ W/(m²·K). Con $\rho = 1{,}75\times10^{-8}\ \Omega\,$m a $20$ °C e coefficiente di temperatura $3{,}95\times10^{-3}$ K⁻¹, calcola la temperatura del conduttore con il modello del conduttore nudo e con quello che tiene conto dell’isolante, e le portate corrispondenti per una temperatura massima di $70$ °C.

Il raggio del conduttore è $r = \sqrt{120/\pi} = 6{,}18$ mm, quello esterno $r_e = 7{,}38$ mm. Nel modello del conduttore nudo, con $\rho(\theta) = \rho_{20}\,[1 + \alpha(\theta - 20)]$, l’equazione $\theta = 30 + \rho(\theta)\,I^2/(2\pi^2r^3h)$ è lineare in $\theta$ e dà $\theta = 50{,}3$ °C. Con l’isolante le resistenze termiche per metro sono $(\rho_T/2\pi)\ln(r_e/r) = 0{,}169$ K·m/W e $1/(2\pi r_eh) = 1{,}438$ K·m/W, e la potenza dissipata per metro $\rho(\theta)\,I^2/(\pi r^2)$ attraverso la loro somma dà $\theta = 48{,}9$ °C. A $70$ °C la resistività è $2{,}10\times10^{-8}\ \Omega\,$m, e le portate sono $365$ A e $378$ A.

Commento: il raggio esterno, $7{,}4$ mm, è sotto il raggio critico, $11$ mm, e l’isolante migliora il raffreddamento: il cavo isolato è più freddo di quello nudo e porta il $3\%$ in più. Le tabelle delle norme danno portate più basse per un cavo di questa sezione posato in un tubo o vicino ad altri cavi, dove lo scambio termico è peggiore.

Esercizio 2. Un cavo isolato in PVC ha una portata di $80$ A a $30$ °C di ambiente. Quanto vale la portata a $40$ °C e a $50$ °C, secondo il modello termico? Quanto tempo impiega, se lavora alla portata a $30$ °C e la corrente sale a $1{,}2$ volte la portata, a raggiungere $80$ °C, con una costante di tempo di $12$ minuti?

$I_z(40) = 80\sqrt{(70 - 40)/(70 - 30)} = 80\cdot 0{,}866 = 69{,}3$ A e $I_z(50) = 80\cdot\sqrt{20/40} = 56{,}6$ A. Con $1{,}2\,I_z$ la temperatura di regime è $30 + 40\cdot 1{,}44 = 87{,}6$ °C, e $\theta(t) = 87{,}6 - 17{,}6\,e^{-t/\tau}$ arriva a $80$ °C quando $e^{-t/\tau} = 7{,}6/17{,}6 = 0{,}432$, cioè dopo $t = 0{,}84\,\tau = 10$ minuti.

Commento: i coefficienti di temperatura delle norme per il PVC sono $0{,}87$ a $40$ °C e $0{,}71$ a $50$ °C, praticamente quelli del modello. Il calcolo del transitorio trascura l’aumento della resistività con la temperatura, che fa salire la temperatura un po’ più in fretta.

Esercizio 3. Una linea trifase a $400$ V alimenta cinque macchine con correnti nominali di $10$, $14$, $16$, $8$ e $21$ A e fattore di potenza unitario, di cui al più quattro lavorano insieme. Il cavo in rame da $16$ mm² scelto ha, nelle condizioni di posa, una portata di $80$ A in condizioni di riferimento e un coefficiente complessivo di correzione di $0{,}82$. Verifica la scelta con un interruttore da $63$ A e calcola la caduta di tensione su $80$ m, con $r = 1{,}41\ \Omega$/km. Quanto può essere lunga la linea con una caduta del $2\%$? E con un cavo da $25$ mm², con $r = 0{,}891\ \Omega$/km?

Nel caso peggiore lavorano le quattro macchine più grandi, e $I_b = 21 + 16 + 14 + 10 = 61$ A. Con $I_n = 63$ A la portata effettiva è $I_z = 0{,}82\cdot 80 = 65{,}6$ A, e $61 \le 63 \le 65{,}6$ A. La caduta di tensione su $80$ m è $\sqrt3\cdot 61\cdot 0{,}080\cdot 1{,}41 = 11{,}9$ V, il $3{,}0\%$; il $2\%$, $8$ V, si rispetta fino a $8/(\sqrt3\cdot 61\cdot 1{,}41\times10^{-3}) = 54$ m. Con il cavo da $25$ mm² la caduta su $80$ m è $7{,}5$ V, l’$1{,}9\%$, e la lunghezza massima $85$ m.

Commento: per la portata il $16$ mm² basta, ma su $80$ m la caduta di tensione chiede il $25$ mm². Il margine tra $I_n$ e $I_z$ è di pochi ampere: un coefficiente di posa appena più basso, per esempio un circuito in più nella stessa canalina, farebbe cadere la verifica.