Circuiti lineari con operazionali

Quattro modi di amplificare

Un amplificatore riceve un segnale da una sorgente e lo consegna a un carico. Il segnale di ingresso può essere una tensione o una corrente, e così quello di uscita: ci sono quattro tipi di amplificatore. L’amplificatore di tensione dà in uscita una tensione proporzionale alla tensione di ingresso; l’amplificatore di corrente una corrente proporzionale a una corrente; l’amplificatore a transconduttanza una corrente proporzionale a una tensione, e il suo guadagno si misura in siemens; l’amplificatore a transresistenza una tensione proporzionale a una corrente, e il suo guadagno si misura in ohm.

Visto dai suoi morsetti, un amplificatore lineare si descrive con un circuito equivalente: all’ingresso una resistenza $R_i$, all’uscita un generatore pilotato dal segnale di ingresso con la resistenza di uscita $R_o$, in serie se il generatore è di tensione, in parallelo se è di corrente, come nei teoremi di Thévenin e Norton. La sorgente si descrive allo stesso modo: una tensione $V_S$ con $R_S$ in serie, o una corrente $I_S$ con $R_S$ in parallelo.

La regola è semplice: una tensione si legge con un’impedenza alta e si consegna con un’impedenza bassa, una corrente il contrario. Uno strumento con resistenza di ingresso di $1$ M$\Omega$ che legge un sensore con resistenza interna di $10$ k$\Omega$ vede il $99\%$ della tensione; un elettrodo per il pH, che ha centinaia di megaohm, visto dallo stesso strumento darebbe quasi niente.

Gli amplificatori con l’operazionale

Con l’operazionale e la retroazione si costruiscono tutti e quattro, con impedenze vicine a quelle ideali. L’amplificatore non invertente è un amplificatore di tensione: impedenza di ingresso quasi infinita, di uscita quasi nulla. L’inseguitore, il caso con guadagno $1$, è il buffer che si mette tra una sorgente e un carico che non devono influenzarsi. L’amplificatore invertente è anche lui di tensione, ma con impedenza di ingresso $R_1$. L’amplificatore a transimpedenza, con la corrente che entra nella terra virtuale e scorre in $R_F$, è un amplificatore a transresistenza con impedenze quasi nulle da tutti e due i lati.

Per l’amplificatore a transconduttanza basta mettere il carico al posto del resistore di retroazione di un non invertente. L’ingresso $V_{in}$ va al non invertente; il carico sta tra l’uscita e l’invertente, e l’invertente è collegato a massa attraverso $R$.

Il limite di questo circuito è che il carico non ha un morsetto a massa: è flottante, sospeso tra l’uscita e l’invertente. Molti carichi, come un sensore collegato a un telaio o un elettrodo in una soluzione, hanno invece un capo a massa.

La pompa di Howland

Per un carico a massa si usa la pompa di corrente di Howland, proposta da Bradford Howland al MIT all’inizio degli anni Sessanta. Il carico $R_L$ sta tra il nodo non invertente e massa; l’ingresso arriva a quel nodo attraverso $R_1$ e l’uscita attraverso $R_2$; l’invertente riceve la frazione $R_3/(R_3 + R_4)$ dell’uscita.

Il risultato contiene un avvertimento. Con $\varepsilon$ negativo la resistenza di uscita è negativa: il circuito sta vicino al confine tra retroazione negativa e positiva, e la sua stabilità va controllata. E l’uscita dell’operazionale deve salire più del carico: con i quattro resistori uguali $V_o = 2V_P$, e il carico massimo è quello per cui $2V_P$ raggiunge la saturazione.

Impedenze al posto dei resistori

Le formule degli amplificatori valgono con impedenze qualunque al posto dei resistori, perché la trasformata di Laplace rende algebriche le relazioni dei condensatori. L’invertente con $Z_1$ all’ingresso e $Z_2$ in retroazione ha $G_{id} = -Z_2/Z_1$; il non invertente $G_{id} = 1 + Z_2/Z_1$. Con un condensatore in retroazione si ottiene l’integratore, $-1/sRC$, che integra solo in una banda limitata e va protetto dall’offset. Scambiando resistore e condensatore si ottiene il derivatore, $G_{id} = -sRC$, cioè $v_u = -RC\,dv_{in}/dt$.

Il derivatore ideale ha due difetti. Il guadagno cresce con la frequenza, e amplifica soprattutto il rumore, che ha componenti a frequenza alta mentre il segnale di solito no. E il circuito tende a oscillare.

Il derivatore

Per il guadagno d’anello, con l’ingresso spento, l’uscita arriva all’invertente attraverso il partitore tra $R$ e il condensatore verso massa: $G_{loop} = -A(s)/(1 + sRC)$. Al polo dell’operazionale si aggiunge quello della rete, e all’attraversamento il guadagno d’anello ha due poli: è il caso a due poli dell’articolo sull’operazionale reale, con poco margine di fase. Il rimedio è una resistenza $R_C$ in serie al condensatore.

Con $R = 16$ k$\Omega$, $C = 100$ nF e un operazionale da $1$ MHz, senza $R_C$ il fattore di qualità è $\sqrt{\omega_uRC} = 100$: il circuito risuona a $10$ kHz, e ogni gradino all’ingresso lo fa oscillare a lungo. Con $R_C = 224\ \Omega$ si ottiene $Q = 0{,}71$, e con il valore commerciale di $220\ \Omega$, $Q = 0{,}73$. Il prezzo è che il circuito deriva solo sotto $1/2\pi R_CC = 7{,}2$ kHz; sopra, il guadagno si ferma a $R/R_C = 73$, e il rumore ad alta frequenza non viene più amplificato senza limite.

Lo sfasatore

Lo sfasatore porta l’ingresso all’invertente attraverso un resistore $R$, con un altro resistore $R$ in retroazione, e al non invertente attraverso il partitore tra un resistore $R$ e un condensatore $C$ verso massa.

Il circuito lascia passare tutte le frequenze con la stessa ampiezza e ne sposta la fase da $0$ a $-180°$, passando per $-90°$ alla frequenza $1/2\pi RC$: è un filtro passa-tutto. Serve per correggere la fase di un segnale senza toccarne l’ampiezza, negli oscillatori e nei circuiti di elaborazione audio. La risposta al gradino mostra le due facce: subito dopo il salto l’uscita vale $-A$, perché per le frequenze alte il circuito è un invertente, e alla fine vale $A$. Il guadagno d’anello non ha poli propri della rete, e la banda è metà del prodotto guadagno-banda, come per un invertente con guadagno $-1$.

Esercizi risolti e commentati

Esercizio 1. Un amplificatore di tensione ha $A_V = 100$, $R_i = 10$ k$\Omega$ e $R_o = 100\ \Omega$. È collegato a una sorgente con $R_S = 1$ k$\Omega$ e a un carico di $1$ k$\Omega$. Quanto vale il guadagno dalla sorgente al carico? Che cosa cambia mettendo un inseguitore ideale tra la sorgente e l’amplificatore?

Soluzione. Il partitore di ingresso vale $10/11 = 0{,}909$, quello di uscita $1000/1100 = 0{,}909$, e il guadagno è $100\cdot0{,}909\cdot0{,}909 = 82{,}6$. Con l’inseguitore la sorgente vede un’impedenza infinita e l’amplificatore una sorgente con resistenza nulla: il partitore di ingresso vale $1$ e il guadagno $90{,}9$.

Commento. Il partitore di uscita resta. Per toglierlo servirebbe un inseguitore anche all’uscita, con impedenza di uscita molto più piccola del carico: è quello che fa l’operazionale nell’amplificatore non invertente, dove la retroazione divide l’impedenza di uscita per il guadagno d’anello.

Esercizio 2. Un elettrodo per il pH si comporta come un generatore di tensione con resistenza interna di $100$ M$\Omega$, e dà $59{,}2$ mV per unità di pH a 25 °C. Quanto legge un voltmetro da $10$ M$\Omega$? E un inseguitore con impedenza di ingresso di $10^{12}\ \Omega$ e corrente di polarizzazione di $1$ pA?

Soluzione. Il voltmetro forma con l’elettrodo un partitore: legge $10/(10 + 100) = 9{,}1\%$ della tensione. L’inseguitore ne legge $10^{12}/(10^{12} + 10^8) = 99{,}99\%$. La corrente di polarizzazione, che scorre nella resistenza dell’elettrodo, aggiunge un errore di $1\ \text{pA}\cdot100\ \text{M}\Omega = 0{,}1$ mV, cioè $0{,}0017$ unità di pH.

Commento. Con sorgenti di impedenza così alta conta la corrente di polarizzazione più dell’impedenza di ingresso. Per questo i pHmetri usano operazionali con ingressi a MOSFET, che hanno correnti di picoampere o meno, e cavi schermati: anche la resistenza di isolamento del cavo diventa parte del partitore.

Esercizio 3. Una pompa di Howland ha i quattro resistori da $10$ k$\Omega$, con tolleranza dell’1%, e un operazionale che satura a $\pm12$ V. Con $V_{in} = 1$ V, quanto vale la corrente? Quanto può valere, nel caso peggiore, la resistenza di uscita? Qual è il carico massimo?

Soluzione. La corrente è $V_{in}/R_1 = 100\ \mu$A. Nel caso peggiore $R_4/R_3$ e $R_2/R_1$ si discostano in versi opposti, ciascuno di circa il 2%, e $\varepsilon \approx 4\%$: la resistenza di uscita è $R_1/\varepsilon = 250$ k$\Omega$. Con un carico di $1$ k$\Omega$ la corrente cambia di $1/251$, lo $0{,}4\%$. Con i rapporti unitari $V_o = 2V_P = 2I_LR_L$, che deve restare sotto $12$ V: $R_L \le 60$ k$\Omega$.

Commento. Per avere una resistenza di uscita alta non bastano resistori precisi uno per uno: servono rapporti precisi, come nell’amplificatore delle differenze, di cui la pompa di Howland è parente stretta. Si usano reti di resistori integrate, tarate in coppia.

Esercizio 4. Il derivatore con $R = 16$ k$\Omega$, $C = 100$ nF e $R_C = 220\ \Omega$ riceve un gradino di $10$ mV. Come risponde, con un operazionale ideale? E senza $R_C$, con l’operazionale da $1$ MHz?

Soluzione. Con l’operazionale ideale $G = -sRC/(1 + sR_CC)$, e il gradino $A/s$ dà $V_u = -ARC/(1 + sR_CC)$, cioè $v_u(t) = -(R/R_C)\,A\,e^{-t/R_CC}$: un salto a $-727$ mV che si spegne con la costante di tempo $R_CC = 22\ \mu$s. Senza $R_C$ la risposta è quella di due poli con $Q = 100$ e $f_n = 10$ kHz: un’oscillazione a $10$ kHz che si smorza con la costante di tempo $2Q/\omega_n = 3{,}2$ ms, dopo una trentina di periodi.

Commento. La derivata di un gradino è un impulso, che nessun circuito reale può dare: il derivatore pratico lo sostituisce con un impulso di area giusta, $-RC\cdot A$, e durata $R_CC$. Il circuito senza $R_C$ trasforma lo stesso gradino in una lunga oscillazione, che non ha niente a che vedere con la derivata.

Esercizio 5. Progettare uno sfasatore che sposti di $-90°$ una sinusoide a $1$ kHz, con $C = 10$ nF. Di quanto sposta le sinusoidi a $100$ Hz e a $10$ kHz? Fino a che frequenza si può usare un operazionale da $1$ MHz?

Soluzione. Serve $\omega RC = 1$ a $1$ kHz: $RC = 159\ \mu$s e $R = 15{,}9$ k$\Omega$; con il valore commerciale di $16$ k$\Omega$ i $-90°$ cadono a $995$ Hz. A $100$ Hz lo sfasamento è $-2\arctan0{,}1 = -11{,}4°$, a $10$ kHz $-2\arctan10 = -168{,}6°$. La banda dell’anello è metà del prodotto guadagno-banda, $500$ kHz; già a $50$ kHz il guadagno d’anello vale $10$, e il circuito si discosta dall’ideale di circa il 10%.

Commento. Lo sfasamento cambia rapidamente intorno a $1/2\pi RC$: in una decade passa da $-11°$ a $-169°$. Per spostare la fase di una quantità fissa su una banda larga servono più celle in cascata con costanti di tempo diverse.